[论文解读] On degrees of birational mappings

Serge Cantat, Junyi Xie|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文建立了射影代数簇上双有理映射的次数序列的基本性质，证明了次数序列有界当且仅当其在某个无限子序列上也有界，并表明无界次数增长不可能任意缓慢——具体而言，在射影空间的情形下，其渐近下界为对角Ackermann函数的倒数。研究结果依赖于p进方法以及通过射影紧化和除子理论进行的几何次数分析。

ABSTRACT

We prove that the degrees of the iterates ${ m deg}(f^n)$ of a birational map satisfy $\liminf({ m deg}(f^n))

研究动机与目标

• 刻画双有理映射的次数序列何时有界，特别是与子序列的关系。
• 确定射影代数簇上双有理映射的无界次数序列的最小可能增长速率。
• 建立次数序列不可能任意缓慢增长（除非有界）的结论，使用几何与p进技术。
• 统一并扩展双有理动力系统中的次数理论工具，尤其在高维情形下，此类序列尚不明确。
• 在自同构与双有理映射的背景下，证明不同次数概念（通过除子理论与交集理论）的等价性。

提出的方法

• 在仿射代数簇 $X$ 的正规射影紧化 $Y$ 上，通过除子理论引入新的次数函数 $\deg^H(f)$，其定义为满足对所有 $P \in A_1$ 有 $ (f^*P) + dH \geq 0 $ 的最小 $d$。
• 利用Riemann-Roch定理，得到 $\dim A_d \leq \gamma d^k$，从而对次数 $\leq d$ 的自同态数量给出多项式上界。
• 通过模空间中分段线性子集结构的 $p$-adic 方法，追踪迭代下集合 $Z_D'(i)$ 的衰减行为。
• 运用Siu不等式与双有理几何，将 $\deg^H(f)$ 与标准交集理论次数 $\deg_H(f)$ 联系起来，证明 $ \frac{1}{k}\deg^H(f) \leq \frac{1}{(H^k)}\deg_H(f) \leq \deg^H(f) $。
• 通过双有理映射有界次数群 $G$ 的结构，分析迭代拉回的动力学，估计纤维交集中分量的数量。
• 通过对分段线性集合的不可约分量数量进行归纳，对递减链 $Z_D'(i)$ 的长度 $\ell(D)$ 进行有界，最终得到与Ackermann函数反函数相关的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双有理映射 $f$ 的次数序列 $\deg(f^n)$ 有界？
• RQ2 若序列无界，$\deg(f^n)$ 的增长是否可能任意缓慢？
• RQ3 对于无界序列，$\deg(f^n)$ 的最小可能增长速率为何，特别是在 $\mathbb{P}^k$ 上？
• RQ4 在自同构与双有理映射的背景下，不同次数概念（如 $\deg^H(f)$ 与 $\deg_H(f)$）之间有何关系？
• RQ5 在多大程度上，可通过几何与算术方法（如 $p$-adic 分析或分段线性几何）控制次数序列的动力学？

主要发现

• 次数序列 $\deg(f^n)$ 有界当且仅当其在某个无限子序列上有界，解决了关于子序列有界性的关键问题。
• 若 $\deg(f^n)$ 无界，则 $\max_{0\leq j\leq n} \deg(f^j)$ 的增长速率至少与对角Ackermann函数的倒数一样快，意味着增长不可能任意缓慢。
• 对于仿射代数簇的自同构，满足 $\deg(f^n) \leq d$ 的 $n$ 的数量至多为 $\alpha d^k$，因此 $\max_{0\leq j\leq n} \deg(f^j) \geq (n/\alpha)^{1/k}$，表明存在多项式下界。
• 通过除子理论定义的次数 $\deg^H(f)$ 满足 $ \frac{1}{k}\deg^H(f) \leq \frac{1}{(H^k)}\deg_H(f) \leq \deg^H(f) $，证明其与标准交集理论次数等价。
• 递减链 $Z_D'(i)$ 的长度 $\ell(D)$ 满足 $ S(\binom{k+D}{k} - 2) + 1 $ 的上界，其中 $S$ 是与Ackermann函数相关的函数，从而给出最慢可能的增长速率。
• 在 $\mathbb{P}^k$ 上，$\deg(f^n)$ 的增长速率不可能慢于对角Ackermann函数的倒数，确立了无界序列发散速率的精确下界。