[论文解读] On Delannoy numbers and Schröder numbers

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文建立了 Delannoy 数 $D_n$ 及其推广形式 $D_n(x)$ 的新型 $p$-进同余式，将其与欧拉数、费马商以及卢卡斯序列模素数联系起来。证明了模 $p$ 下 $D_k/k$ 与 $D_k/k^2$ 的和分别与 $q_p(2)$ 和 $E_{p-3}$ 相关，并通过 $(-1 \pm \sqrt{-x})^p$ 的 $p$-进展开将这些结果推广至 $D_n(x)$，揭示了格路计数与数论函数之间深刻的算术联系。

ABSTRACT

The n-th Delannoy number and the n-th Schröder number given by $D_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}$ and $S_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}/(k+1)$ respectively arise naturally from enumerative combinatorics. Let p be an odd prime. We mainly show that $$\sum_{k=1}^{p-1}D_k/k^2=2(-1/p)E_{p-3} (mod p)$$ and $$\sum_{k=1}^{p-1}S_k/m^k=(m^2-6m+1)/(2m)*(1-((m^2-6m+1)/p) (mod p),$$ where (-) is the Legendre symbol, E_0,E_1,E_2,... are Euler numbers and m is any integer not divisible by p. We also conjecture that $\sum_{k=1}^{p-1}D_k^2/k^2=-2q_p(2)^2 (mod p)$, where $q_p(2)=(2^{p-1}-1)/p$.

研究动机与目标

• 推导中心 Delannoy 数 $D_n$ 及其推广形式 $D_n(x)$ 的新型 $p$-进同余式，将其与经典数论函数联系起来。
• 研究模素数 $p$ 下涉及 $D_k/k$ 与 $D_k/k^2$ 的和的算术结构，特别是其与费马商 $q_p(2)$ 和欧拉数 $E_{p-3}$ 的关系。
• 将这些结果推广至 $p$-进整数 $x$ 的广义 Delannoy 多项式 $D_n(x)$，通过二项式与超几何和的 $p$-进展开揭示其代数结构。
• 通过模 $p$ 与 $p^2$ 的同余关系，探索 Delannoy 数与佩尔、斐波那契及卢卡斯数列之间的联系，尤其关注其与二次型的关系。

提出的方法

• 推导一个关键恒等式：对于 $p$-进整数 $x$，有 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k} \equiv \frac{(-1 + \sqrt{-x})^p + (-1 - \sqrt{-x})^p + 2}{p} \pmod{p}$，利用生成函数变换与 $p$-进展开。
• 应用模 $p$ 下调和和与二项式系数的已知同余式，特别是 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} \equiv -q_p(2) \pmod{p}$，将 $D_k/k$ 的和简化为已知的 $p$-进表达式。
• 利用恒等式 $\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{(-1)^k}{k^s} \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k^s} \pmod{p}$（$s=1,2$），通过二项式系数恒等式与 $p$-进逆元推导得出。
• 利用对偶性 $(-1)^n D_n(x) = D_n(-x-1)$ 将带交替符号的和与其它参数化形式关联，实现基于对称性的简化。
• 运用卢卡斯序列 $\{P_n\}$、$\{F_n\}$ 与 $\{L_n\}$ 表示涉及 $D_k(-2)$、$D_k(-5)$ 与 $D_k(-4)$ 的同余式，将其与 $p$-进赋值及类数形式联系起来。
• 通过 Catalan 数 $C_k$ 的引理证明定理 1.2 对 Schr\
• research_questions
• key_findings

实验结果

研究问题

• RQ1 模 $p$ 下形如 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k^2}$ 与 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k}$ 的和如何表现？它们与哪些数论函数相关？
• RQ2 广义 Delannoy 数 $D_n(x)$ 是否可用于推导涉及 $(-1 \pm \sqrt{-x})^p$ 的 $p$-进同余式？
• RQ3 $D_k(-2)$、$D_k(-5)$ 与模 $p$ 下的佩尔数、斐波那契数列之间有何联系？
• RQ4 Schr\
• RQ5 key_findings

主要发现

• 对任意奇素数 $p$，有 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k^2} \equiv 2\left(\frac{-1}{p}\right) E_{p-3} \pmod{p}$，将 Delannoy 数与欧拉数联系起来。
• 有 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k} \equiv -q_p(2) \pmod{p}$，其中 $q_p(2) = (2^{p-1} - 1)/p$，建立了与费马商的直接联系。
• 对于广义 Delannoy 多项式，有 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k} \equiv \frac{(-1 + \sqrt{-x})^p + (-1 - \sqrt{-x})^p + 2}{p} \pmod{p}$，对任意 $p$-进整数 $x$ 成立，提供了强大的生成函数同余式。
• 推论 1.1 表明 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(-4)}{k} \equiv \frac{3 - 3^p}{p} \pmod{p}$ 且 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(-2)}{k} \equiv -\frac{4}{p} P_{p - (\frac{2}{p})} \pmod{p}$，与佩尔数相关。
• 对于 Schr\
• Conjecture 1.2 提出 $\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k D_k(x)^3$ 模 $p^2$ 的深层同余式，将其与 $p$ 表示为 $x^2 + 3y^2$、$x^2 + 6y^2$ 或 $x^2 + 15y^2$ 的方式联系起来，具体取决于 $p \mod 3$、$24$ 或 $15$。