[论文解读] On densely complete metric spaces and extensions of uniformly continuous functions in $\mathbf{ZF}$

Kyriakos Keremedis, Eliza Wajch|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文在策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）中证明了可数选择公理（CAC）与度量空间若干基本性质等价：每个稠密完备的度量空间都是完备的，稠密子集上的一致连续函数可连续延拓至整个空间，且完备子空间是闭的。此外，该结果在实直线上的限制等价于CAC(R)，但实值函数的延拓性质则更弱，等价于“R是序列空间”的陈述。

ABSTRACT

A metric space $\mathbf{X}$ is called densely complete if there exists a dense set $D$ in $\mathbf{X}$ such that every Cauchy sequence of points of $D $ converges in $\mathbf{X}$. One of the main aims of this work is to prove that the countable axiom of choice, $\mathbf{CAC}$ for abbreviation, is equivalent with the following statements:\smallskip (i) Every densely complete (connected) metric space $\mathbf{X}$ is complete.\smallskip\ (ii) For every pair of metric spaces $\mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$, if $% \mathbf{Y}$ is complete and $\mathbf{S}$ is a dense subspace of $\mathbf{X}$% , while $f:\mathbf{S} ightarrow \mathbf{Y}$ is a uniformly continuous function, then there exists a uniformly continuous extension $F:\mathbf{X} o% \mathbf{Y}$ of $f$.\smallskip (iii) Complete subspaces of metric spaces have complete closures.\smallskip (iv) Complete subspaces of metric spaces are closed.\smallskip It is also shown that the restriction of (i) to subsets of the real line is equivalent to the restriction $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ of $\mathbf{CAC}$ to subsets of $\mathbb{R}$. However, the restriction of (ii) to subsets of $% \mathbb{R}$ is strictly weaker than $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ because it is equivalent with the statement that $\mathbb{R}$ is sequential. Moreover, among other relevant results, it is proved that, for every positive integer $% n$, the space $\mathbb{R}^n$ is sequential if and only if $\mathbb{R}$ is sequential. It is also shown that $\mathbb{R} imes\mathbb{Q}$ is not densely complete if and only if $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ holds.

研究动机与目标

• 研究稠密完备度量空间的逻辑强度及其在ZF集合论中一致连续函数延拓中的作用。
• 确定从稠密子集到整个空间延拓一致连续函数所需的精确集合论公理。
• 在弱选择公理下，厘清度量空间中完备性、闭性与序列性之间的关系。
• 在函数延拓定理的背景下，阐明CAC(R)与R的序列性之间的区别。
• 探讨R×Q等空间的拓扑与集合论性质及其对完备性与选择公理的含义。

提出的方法

• 引入‘稠密完备’度量空间的概念，即在空间中，其稠密子集D内的所有柯西序列均在该空间内收敛。
• 在缺乏完整选择公理的情况下，利用序列闭包与序列连续性分析拓扑性质。
• 应用可数选择公理（CAC）及其在R上的限制（CAC(R)）证明完备性与延拓性质之间的等价性。
• 结合理想上的贝尔纲性质（BPI）与CAC(R)，构造选择函数，并在紧致度量空间中证明函数延拓。
• 分析R^n与R×Q的结构，得出独立性结果：当且仅当CAC(R)成立时，R×Q不是稠密完备的。
• 利用度量积构造与一致连续性，定义并验证从稠密子集到整个空间的函数延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 可数选择公理（CAC）是否等价于‘每个稠密完备的度量空间都是完备的’这一命题？
• RQ2 在ZF中，从稠密子集到整个空间的一致连续函数延拓是否蕴含CAC？
• RQ3 R的序列性是否等价于R上从稠密集到R的一致连续函数延拓？这与CAC(R)相比如何？
• RQ4 在ZF中，度量空间的完备子空间是否必然闭？需要何种公理强度才能保证这一点？
• RQ5 在ZF中，R×Q的稠密完备性与CAC(R)的有效性之间存在何种关系？

主要发现

• 在ZF中，CAC等价于‘每个稠密完备的度量空间都是完备的’这一命题。
• 在ZF中，从稠密子集到整个空间的一致连续函数延拓等价于CAC。
• 在度量空间中，完备子空间的闭包是完备的，当且仅当CAC成立。
• 在度量空间中，完备子空间是闭的，当且仅当CAC成立。
• R的序列性等价于从R的稠密集到R的一致连续函数延拓，但该性质严格弱于CAC(R)。
• 当且仅当CAC(R)成立时，R×Q不是稠密完备的，从而精确刻画了其完备性性质的集合论特征。