[论文解读] On Derivation of Compressible Fluid Systems on an Evolving Surface

Hajime Koba|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文利用能量变分原理和热力学定律，推导出演化曲面上可压缩流体的完整方程组。通过第一原理推导动量、能量和输运方程，结合粘性、压力功和曲面演化，借助黎曼几何与流映射，为Boussinesq-Scriven表面应力张量提供了数学验证。

ABSTRACT

We consider the governing equations for the motion of compressible fluid on an evolving surface from both energetic and thermodynamic points of view. We employ our energetic variational approaches to derive the momentum equation of our compressible fluid systems on the evolving surface. Applying the first law of thermodynamics and the Gibbs equation, we investigate the internal energy, enthalpy, entropy, and free energy of the fluid on the evolving surface. We also study conservative forms and conservation laws of our compressible fluid systems on the evolving surface. Moreover, we derive the generalized heat and diffusion systems on an evolving surface from an energetic point of view. This paper gives a mathematical validity of the surface stress tensor determined by the Boussinesq-Scriven law. Using a flow map on an evolving surface and applying the Riemannian metric induced by the flow map are key ideas to analyze fluid flow on the evolving surface.

研究动机与目标

• 从能量与热力学原理出发，推导演化曲面上一致的可压缩流体方程组。
• 通过能量耗散与功项，为控制表面应力张量的Boussinesq-Scriven定律提供数学依据。
• 在演化曲面上，制定质量、动量、能量与浓度的守恒形式与守恒定律。
• 利用变分原理与非线性能量密度，推广演化曲面上的热传导与扩散方程。
• 通过时间演化流映射诱导的黎曼度量，统一表面流体动力学与连续介质力学。

提出的方法

• 应用能量变分方法（AVA），从作用量泛函与耗散泛函推导动量与能量方程。
• 利用热力学第一定律与第二定律，在演化曲面上推导内能、熵、焓与自由能。
• 采用全导数 $ D_t = \frac{\nabla}{\nabla t} + (v, \nabla) $ 与曲面散度 $ \mathrm{div}_\Gamma $，以建模演化流形上的输运过程。
• 引入流映射与由该映射诱导的黎曼度量，以定义曲面梯度、散度与应力张量。
• 从粘性耗散与压力功出发，推导表面应力张量 $ S_\Gamma(v, \sigma, \mu, \lambda) $，验证Boussinesq-Scriven定律。
• 通过假设非线性能量密度 $ e_{TD} = e_{\mathcal{J}_1}(|\mathrm{grad}_\Gamma \theta|^2) $ 与 $ e_{SD} = e_{\mathcal{J}_2}(|\mathrm{grad}_\Gamma C|^2) $，推广热传导与扩散系统，导出非线性通量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从能量与热力学原理推导演化曲面上的可压缩流体动力学？
• RQ2 Boussinesq-Scriven定律在表面流体力学中的数学基础是什么？
• RQ3 质量、动量、能量与浓度的守恒定律如何在演化曲面上自然涌现？
• RQ4 如何利用变分方法推广演化曲面上的热传导与扩散方程？
• RQ5 由流映射诱导的黎曼度量在建模表面流体流动中起到何种作用？

主要发现

• 动量方程 $ \rho D_t v = \mathrm{div}_\Gamma S_\Gamma(v, \sigma, \mu, \lambda) + \rho F $ 由能量变分原理推导得出，其中 $ S_\Gamma $ 包含粘性与压力贡献。
• 表面应力张量 $ S_\Gamma $ 在数学上被验证为源于能量耗散与压力做功，证实了Boussinesq-Scriven定律。
• 能量方程 $ \rho D_t e + (\mathrm{div}_\Gamma v)\sigma = \mathrm{div}_\Gamma q_\theta + \rho Q_\theta + \tilde{e}_D $ 包含粘性耗散项 $ \tilde{e}_D = 2\mu|D_\Gamma(v)|^2 + \lambda|\mathrm{div}_\Gamma v|^2 $。
• 广义热传导系统 $ \rho D_t(C_\theta \theta) = \mathrm{div}_\Gamma(e'_{\mathcal{J}_1}(|\mathrm{grad}_\Gamma \theta|^2) \mathrm{grad}_\Gamma \theta) + \rho Q_\theta + \mathcal{F}_1 $ 将经典傅里叶热传导推广至演化曲面。
• 扩散方程 $ D_t C + (\mathrm{div}_\Gamma v)C = \mathrm{div}_\Gamma(e'_{\mathcal{J}_2}(|\mathrm{grad}_\Gamma C|^2) \mathrm{grad}_\Gamma C) + Q_C + \mathcal{F}_2 $ 将菲克扩散推广至非线性、演化曲面几何。
• 该框架成功地从一致的变分与热力学基础出发，推导出包括正压模型在内的经典与非经典可压缩流体系统。