[论文解读] On Difference of Enhanced Power Graph and Power Graph of a Finite Group

Sucharita Biswas, Peter J‎. Cameron+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2022

graph theory and CDMA systems被引用 4

一句话总结

本文引入了差图 $D(G)$，定义为有限群 $G$ 的增强幂图减去其幂图，且移除了孤立顶点。研究建立了关于 $D(G)$ 连通性和完美性的关键结果，表明当 $G$ 为非 $p$-群且中心非平凡时，$D(G)$ 是连通的；对于阿贝尔群、阶为 $pq$、$p^2q$、$p^3q$ 和 $pqr$ 的群等各类群，$D(G)$ 是完美的，并对幂零群给出了完整的分类。

ABSTRACT

The difference graph $D(G)$ of a finite group $G$ is the difference of enhanced power graph of $G$ and power graph of $G$, with all isolated vertices are removed. In this paper we study the connectedness and perfectness of $D(G)$ with respect to various properties of the underlying group $G$. We also find several connection between the difference graph of $G$ and the Gruenberg-Kegel graph of $G$.

研究动机与目标

• 定义并分析差图 $D(G)$，其通过从有限群 $G$ 的增强幂图中移除幂图的边而形成。
• 研究 $D(G)$ 在对称群、交错群、二面体群及直积等各类有限群中的连通性。
• 确定 $D(G)$ 为完美图的条件，尤其关注阿贝尔群、幂零群及小阶群的情形。
• 探讨 $D(G)$ 与 $G$ 的格伦堡–凯格尔图之间的联系，特别是与群结构和素因子的关系。
• 对 $D(G)$ 为完美图的有限群进行分类，并识别 $D(G)$ 结构中的开放问题。

提出的方法

• 将 $D(G)$ 定义为顶点集为 $G$ 的图，其边存在于增强幂图中但不存在于幂图中，且移除了孤立顶点。
• 利用群论性质（如元素阶、循环子群和中心结构）分析 $D(G)$ 中的邻接关系与连通性。
• 应用孪生约化与图论技术（如余核分析）简化大型差图，尤其适用于单群。
• 借助计算工具（GAP 与 GRAPE）分析小阶有限单群，验证 $D(G)$ 的完美性与连通性。
• 通过素因子与元素阶，建立 $D(G)$ 与格伦堡–凯格尔图之间的联系。
• 利用结构群论（如 EPPO 群分类、西罗子群与直积）推导 $D(G)$ 连通性与完美性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于中心平凡的有限群 $G$，若 $D(G)$ 连通，其直径是否可能超过 6？
• RQ2 有限群 $G$ 的差图 $D(G)$ 为完美的充要条件是什么？
• RQ3 能否在一个有限群 $G$ 中嵌入一个完全边着色图（红、绿、蓝三种颜色），使得红色边对应幂图的边，绿色通道对应差图的边，蓝色边对应增强幂图中的非边？
• RQ4 在直积群中，特别是当 $G = G_1 \times G_2 \times G_3$ 时，$D(G)$ 在何种条件下连通？
• RQ5 哪些有限单群的差图是不完备的？其导致不完备性的结构特征是什么？

主要发现

• 对于所有中心非平凡的非 $p$-群，差图 $D(G)$ 是连通的，且其直径至多为 6。
• $D(S_n)$ 连通当且仅当 $n \geq 8$，且 $D(A_n)$ 连通当 $n \geq 18$。
• $D(D_n)$ 连通当且仅当 $n$ 不是素数幂，且 $D(D_n \times D_m)$ 不连通当且仅当 $n$ 与 $m$ 是同一奇素数的幂。
• $D(\mathbb{Z}_n)$ 对所有 $n$ 都是完美的，且所有阶为 $pq$、$p^2q$、$p^2q^2$、$p^3q$ 或 $pqr$（$p,q,r$ 为不同素数）的群，其 $D(G)$ 均为完美图。
• $M_{11}$ 的差图经孪生约化后由 7920 个顶点减少至 385 个顶点，结果为一个直径为 10、围长为 10 的二分图，其自同构群为 $M_{11}$。
• 对于阶小于 $J_1$ 的单群，所有 $D(G)$ 均为完美图；例如 $\mathrm{PSL}(2,q)$ 在 $q=11,13,16$ 时，以及 $\mathrm{PSL}(3,3)$，其生成了一个关于 $\mathbb{F}_3$ 上射影平面上的旗与反旗的新奇二分图。