[论文解读] On dimension and regularity of bundle measures

Rami Ayoush, Michał Wojciechowski|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文引入一种基于齐次线丛 $l$-反对称性的新尺度，通过傅里叶分析框架量化向量值测度的反对称性。它建立了此类测度的可 rectifiable 维数和 Hausdorff 维数的下界，证明在满足 $2$-波锥型条件时，Hausdorff 维数至少为 2，并且该丛测度在具有有限 $χ^1$ 测度的 $1$-纯非可 rectifiable 集上消失。

ABSTRACT

In this paper we quantify the notion of antisymmetry of the Fourier transform of certain vector valued measures. The introduced scale is related to the condition appearing in Uchiyama's theorem and is used to give a lower bound for the rectifiable dimension of those measures. Moreover, we obtain an estimate of the lower Hausdorff dimension assuming certain more restrictive version of the $2$-wave cone condition. Results of our considerations can be viewed as an uncertainty-type principle in the following way: it is impossible to simultaneously localize a (bundle) measure and a direction of its Fourier transform on small sets. The investigated class is modeled on the example of gradients of BV functions. The article contains also a theorem concerning regularity: we prove that elements of considered class vanish on 1-purely unrectifiable sets. Our results can be applied to studying the properties of PDE-constrainted measures.

研究动机与目标

• 通过基于齐次线丛 $l$-反对称性的新尺度，量化向量值测度傅里叶变换的反对称性。
• 在丛的几何与正则性条件下，建立丛测度的可 rectifiable 维数与 Hausdorff 维数的下界。
• 利用傅里叶分析与几何方法，将 $BV$ 梯度的结果推广至更广泛的 PDE 约束测度类。
• 证明丛测度在具有有限 $χ^1$ 测度的 $1$-纯非可 rectifiable 集上消失，推广经典可 rectifiable 性结果。
• 提供 $χ^1$ 维数估计的纯傅里叶分析证明，适用于 $χ^3$ 中的 $BV$ 梯度，不依赖于 coarea 公式。

提出的方法

• 引入线丛 $\phi$ 的 $l$-反对称性概念，定义为：在任意 $(l+1)$-维子空间上存在不同的纤维。
• 定义 $a(\phi)$ 为 $\phi$ 是 $l$-反对称的最小 $l$ 值，并据此提出关于 $\dim_H(\mu)$ 下界的猜想。
• 应用一种适配于傅里叶变换的修改版测度论爆破方法，证明当 $\phi$ 光滑且非恒定值时，有 $\dim_{\text{rect}}(\mu) \geq n - a(\phi)$。
• 结合 $s$-Riesz 集与 Salem 集，辅以单侧 Frostman 引理，证明在 $2$-波锥条件下，有 $\dim_H(\mu) \geq 2$。
• 应用 Besicovitch-Federer 投影定理，证明当 $\phi$ 是 Hölder 连续且指数 $>1/2$ 时，$\mu$ 在具有有限 $χ^1$ 测度的 $1$-纯非可 rectifiable 集上消失。
• 通过允许 $L^2$-扰动，将结果推广至非齐次丛，保持奇异集结构不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 丛 $\phi$ 的反对称性与关联测度的维数之间存在何种精确关系？
• RQ2 丛测度的可 rectifiable 维数是否可由 $n - a(\phi)$ 从下方有界？在何种正则性条件下成立？
• RQ3 在何种丛 $\phi$ 条件下，测度 $\mu$ 的 Hausdorff 维数满足 $\dim_H(\mu) \geq 2$？
• RQ4 丛测度在具有有限 $χ^1$ 测度的 $1$-纯非可 rectifiable 集上“充电”程度如何？
• RQ5 这些结果如何推广至 PDE 约束测度，特别是那些来自具有消去性或波锥条件的微分算子的测度？

主要发现

• 在满足温和几何假设下，与光滑非恒定线丛 $\phi$ 相关的丛测度 $\mu$ 的可 rectifiable 维数满足 $\dim_{\text{rect}}(\mu) \geq n - a(\phi)$，证实了该猜想。
• 若 $\mu$ 可 rectifiable，则要么 $\dim_H(\mu) \geq \frac{n}{2}$，要么 $\mu$ 实质上为标量值（其取值位于单一直线内）。
• 在 $2$-波锥条件下——即存在有限个 $2$-维子空间 $V_i$，使得 $\phi(V_i \setminus \{0\}) \subset W_i$ 且 $\bigcap_i W_i = \{0\}$——则 $\mu$ 的 Hausdorff 维数至少为 2。
• 对于 Hölder 连续且指数 $> \frac{1}{2}$ 的丛，$\mu$ 在任意具有有限 $χ^1$ 测度的 $1$-纯非可 rectifiable Borel 集 $F$ 上消失，推广了关于 $BV$ 梯度的经典结果。
• 通过允许 $L^2$-扰动，将结果推广至非齐次丛，表明平方可 summable 的误差不影响奇异集结构。
• 该框架为 $χ^3$ 中 $BV(\mathbb{R}^3)$ 梯度的 $\dim_H(\mu) \geq 2$ 估计提供了纯傅里叶分析证明，不依赖于 coarea 公式。