[论文解读] On Directed Lattice Paths With Additional Vertical Steps

Maciej Dziemiańczuk|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种包含垂直步长 (0,-1) 和非垂直步长 (1,k)（k 为整数）的有向格路的组合框架。它建立了主路径（含垂直步长）与加权非垂直路径之间的双射，表明主路径的数量等于对应加权路径的权重之和。一个关键结果是：从 (0,0) 到 (n,-1) 的主路径中垂直步长的期望数量，等于从 (0,0) 到 (n,0) 的自由路径数量，从而将路径计数与生成函数及已知的组合序列（如 Dyck、Motzkin 和 Delannoy 路径）联系起来。

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of lattice paths that consist of vertical steps $(0,-1)$ and non-vertical steps $(1,k)$ for some $k\in \mathbb Z$. Two special families of primary and free lattice paths with vertical steps are considered. It is shown that for any family of primary paths there are equinumerous families of proper weighted lattice paths that consist of only non-vertical steps. The relation between primary and free paths is established and some combinatorial and statistical properties are obtained. It is shown that the expected number of vertical steps in a primary path running from $(0,0)$ to $(n,-1)$ is equal to the number of free paths running from $(0,0)$ to $(n,0)$. Enumerative results with generating functions are given. Finally, a few examples of families of paths with vertical steps are presented and related to Łukasiewicz, Motzkin, Dyck and Delannoy paths.

研究动机与目标

• 研究包含垂直步长 (0,-1) 和非垂直步长 (1,k)（k ∈ ℤ）的格路。
• 在主路径（含垂直步长）与加权非垂直路径之间建立双射。
• 推导路径计数的生成函数与闭式表达式。
• 将路径族与经典组合对象（如 Dyck、Motzkin 和 Delannoy 路径）联系起来。
• 计算主路径中垂直步长的期望数量，并将其与自由路径计数关联。

提出的方法

• 定义两类路径族：自由路径 F_S(m,n) 和从 (0,0) 到 (n,-m) 的主路径 P_S(m,n)，其中主路径被限制在 x 轴之上或之上。
• 在非垂直步长上构造一个权重函数 w，使得 |P_V(m,n)| = ∑_{w-加权路径 π ∈ P_L(m,n)} w(π)，其中 L 是变换后的步长集合。
• 通过主 V-路径与 w-加权主 L-路径之间的双射，证明其数量相等。
• 应用核法与生成函数技术，推导路径计数的闭式表达式。
• 通过坐标映射 (i,j) ↦ (i−j,i) 变换格路，将 Delannoy 路径与步长为 V、U₁、U₀ 的路径关联起来。
• 使用形式组合学与系数提取技术，推导路径族的递推关系与生成函数关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过加权非垂直步长对含垂直步长的格路进行双射编码？
• RQ2 主路径中垂直步长的数量与自由路径数量之间存在何种关系？
• RQ3 含垂直步长的路径族的生成函数与不含垂直步长的生成函数有何关联？
• RQ4 在该框架下，Dyck、Motzkin 和 Delannoy 等经典路径在多大程度上可被统一？
• RQ5 从 (0,0) 到 (n,-1) 的主路径中垂直步长的期望数量是多少？它与自由路径计数有何关系？

主要发现

• 从 (0,0) 到 (n,-1) 的主路径中垂直步长的期望数量等于从 (0,0) 到 (n,0) 的自由路径数量，即 E[|V|] = |F_V(0,n)|。
• 对于任意包含 U_N 和 V 的主路径族，其步长集 V ⊆ {V} ∪ Ω_N，存在一个对应的 L = (V ∖ {V}) ∪ {D₁, U₀, ..., U_N} 上的加权路径族，使得 |P_V(m,n)| = ∑_{π∈P_L(m,n)} w(π)。
• 对于步长集 E = {V, U₁, U₀}，主路径数量 |P_E(1,n)| 等于大 Schröder 数 S(n)，且满足 |P_E(1,n)| = (D(n,n+1) - D(n,n))/n。
• 从 (0,0) 到 (n,k) 的 Delannoy 路径数量为 D(n,k) = ∑_{j=0}^k binom(n,j) binom(n+k-j,n)，且 D(n,n) 为中央 Delannoy 数。
• 步长集 D = {V, U₁, U₀} 的主路径的生成函数满足 P_1(x) = (1 - √(1 - 4x - 4x²))/(2x)，与 OEIS A025227 一致。
• 自由路径数量 |F_E(1,n)| 由 ∑_{j=0}^n ∑_{k=0}^{⌊(Nj+1)/(N+1)⌋} (-1)^{n-j} / j * binom(j,k) * binom((N+1)(j-k), j-1) 给出，当 N=1 时对应 OEIS A179191。