[论文解读] On Dirichlet problem for fractional $p$-Laplacian with singular nonlinearity

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 30被引用 12

一句话总结

本文研究了在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 中，带有奇异非线性项 $\lambda u^{-q} + u^{\alpha}$ 的分数阶 $p$-拉普拉斯方程正弱解的存在性与多重性，其中 $n > sp$，$s \in (0,1)$，$\lambda > 0$，$0 < q \leq 1$，且 $\alpha \leq p^*_s - 1$。通过变分方法与上下解技术，作者证明了当 $\lambda$ 较小时至少存在一个正解，并在 $\alpha$ 与 $p$ 满足特定条件时得到多个解，从而将局部 $p$-拉普拉斯与分数阶拉普拉斯情形下的结果进行了推广。

ABSTRACT

In this article, we study the following fractional $p$-Laplacian equation with critical growth singular nonlinearity \begin{equation*} \quad (-\De_{p})^s u = \la u^{-q} + u^α, u&gt;0 \; ext{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om. \end{equation*} where $\Om$ is a bounded domain in $\mb{R}^n$ with smooth boundary $\partial \Om$, $n &gt; sp, s \in (0,1), \la &gt;0, 0 &lt; q \leq 1 $ and $α\le p^*_s-1$. We use variational methods to show the existence and multiplicity of positive solutions of above problem with respect to parameter $\la$.

研究动机与目标

• 建立带有奇异与临界增长非线性的分数阶 $p$-拉普拉斯方程正弱解的存在性。
• 分析解的存在性对奇异项中参数 $\lambda > 0$ 的依赖关系。
• 将变分技术推广至非局部、奇异及临界增长的分数阶 $p$-拉普拉斯设定中。
• 通过 Nehari 流形与纤维化映射方法，研究在临界指数与奇异项共存时解的多重性。

提出的方法

• 采用变分方法，在分数阶索伯列夫空间 $X_0$ 中最小化与问题相关的能量泛函。
• 通过变分法的直接方法证明弱解的存在性，利用能量泛函的强制性与弱下半连续性。
• 应用上下解技术构造小 $\lambda$ 下的解，以分数阶 $p$-拉普拉斯的首特征函数 $\phi_1$ 作为下界。
• 采用 Nehari 流形方法分析解的结构，并在 $\alpha < p^*_s - 1$ 时建立多重解结果。
• 通过将 $u^{-q}$ 替换为 $(u + 1/n)^{-q}$ 构造正则化问题，以生成逼近序列并证明分布解的存在性。
• 利用先验估计与收敛性论证，在正则化问题中取极限，确保解以弱形式满足原方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\lambda$、$q$ 与 $\alpha$ 条件下，带有奇异非线性项 $\lambda u^{-q} + u^{\alpha}$ 的分数阶 $p$-拉普拉斯问题存在正弱解？
• RQ2 临界指数 $p^*_s = \frac{np}{n-sp}$ 如何影响非局部 $p$-拉普拉斯设定下解的存在性与多重性？
• RQ3 变分方法能否被调整以处理非局部方程中奇异项与临界增长的联合影响？
• RQ4 首特征函数 $\phi_1$ 在构造下解及证明小 $\lambda$ 下解的存在性中起什么作用？
• RQ5 解是否唯一？在 $\alpha$ 与 $\lambda$ 的某些取值范围内，是否可能存在多个正解？

主要发现

• 对所有 $\lambda \in (0, \Lambda)$，其中 $\Lambda > 0$ 为一阈值，问题在 $X_0$ 中至少存在一个正弱解。
• 通过上下解方法证明了解的存在性，其中 $t\phi_1$ 作为下解，$\overline{u}$ 作为上解，由更大的 $\lambda_0$ 处的解构造而成。
• 能量泛函 $J_\lambda(u) = \frac{1}{p}\int_Q \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}} \, dxdy - \lambda \int_\Omega G_q(u) \, dx$ 是强制的、有下界的，并且弱下半连续，从而保证最小值点的存在。
• 当 $0 < q < 1$ 时，$J_\lambda$ 的最小值点 $u_0$ 是奇异问题 $(-\Delta_p)^s u = \lambda u^{-q}$ 的正弱解，通过构造合适的下解并使用截断技术实现。
• 当 $\alpha < p^*_s - 1$ 时，由于 Nehari 流形与纤维化方法的结构，问题存在多个正解。
• 该方法可推广至纯奇异情形 $(-\Delta_p)^s u = \lambda u^{-q}$，通过相同的变分与上下解框架，证明了小 $\lambda$ 下正解的存在性。