[论文解读] On discontinuous Galerkin discretizations of second-order derivatives

Ammar Hakim, G. W. Hammett+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文分析了二阶导数的间断伽辽金（DG）离散化方法，重点关注局部DG（LDG）和恢复DG（RDG）格式。结果表明，LDG由于迎风导致的非对称性，在$L^2$范数下产生非收敛的斜率，但在时间依赖的扩散问题中误差迅速衰减，保持了解的收敛性。RDG提供了对称的、更高阶的收敛近似，且误差更小。

ABSTRACT

Some properties of a Local discontinuous Galerkin (LDG) algorithm are demonstrated for the problem of evaluting a second derivative $g = f_{xx}$ for a given $f$. (This is a somewhat unusual problem, but it is useful for understanding the initial transient response of an algorithm for diffusion equations.) LDG uses an auxiliary variable to break this up into two first order equations and then applies techniques by analogy to DG algorithms for advection algorithms. This introduces an asymmetry into the solution that depends on the choice of upwind directions for these two first order equations. When using piecewise linear basis functions, this LDG solution $g_h$ is shown not to converge in an $L_2$ norm because the slopes in each cell diverge. However, when LDG is used in a time-dependent diffusion problem, this error in the second derivative term is transient and rapidly decays away, so that the overall error is bounded. I.e., the LDG approximation $f_h(x,t)$ for a diffusion equation $\partial f / \partial t = f_{xx}$ converges to the proper solution (as has been shown before), even though the initial rate of change $\partial f_h / \partial t$ does not converge. We also show results from the Recovery discontinuous Galerkin (RDG) approach, which gives symmetric solutions that can have higher rates of convergence for a stencil that couples the same number of cells.

研究动机与目标

• 分析在扩散和椭圆问题背景下，计算二阶导数时间断伽辽金方法的收敛行为。
• 研究局部DG（LDG）格式中由于迎风选择引起的非对称性对二阶导数近似精度的影响。
• 将LDG与恢复DG（RDG）方法进行比较，后者通过在单元界面重建连续梯度以改善对称性和收敛性。
• 评估二阶导数近似非收敛对时间依赖扩散和超扩散问题的影响。
• 评估这些格式在涉及高阶导数（如$f_{xxxx}$）的问题中的表现，及其在聚变物理和亚网格建模中的适用性。

提出的方法

• 使用分段线性基函数和勒让德多项式作为测试函数，推导二阶微分算子的弱形式。
• 通过引入辅助变量$q = f_x$和$g = q_x$，应用LDG方法，将二阶PDE转化为一阶方程组。
• 采用具有迎风偏置的数值通量以保证稳定性，引入依赖于迎风方向选择的非对称性。
• 通过最小二乘拟合在单元界面重建解的连续表示，采用RDG方法计算梯度。
• 分析离散二阶导数算子的特征模态，识别导致LDG中非收敛的虚假高频模态。
• 对扩散方程$\partial f/\partial t = f_{xx}$进行时间依赖模拟，研究瞬态误差动力学及$f_h(x,t)$的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在分段线性基函数下，LDG对$f_{xx}$的离散化在$L^2$范数下不收敛，尽管在时间依赖问题中解是收敛的？
• RQ2 LDG中迎风方向的选择如何影响二阶导数近似的对称性和收敛性？
• RQ3 恢复DG（RDG）方法能否在二阶导数计算中实现比LDG更高的收敛速率和更好的稳定性？
• RQ4 非收敛的二阶导数近似对时间依赖扩散和超扩散方程的解有何影响？
• RQ5 离散$\partial^2/\partial x^2$算子的虚假特征模态如何影响如薛定谔方程等长期行为问题？

主要发现

• 对于分段线性基函数，LDG方法产生的二阶导数近似$g_h$在$L^2$范数下不收敛，这是由于单元斜率发散所致，尽管单元平均值是收敛的。
• LDG中的非收敛误差是瞬态的，在时间依赖的扩散问题中迅速衰减，使得解$f_h(x,t)$能收敛到真实解。
• 恢复DG（RDG）方法对二阶导数和时间依赖扩散问题均提供对称的、更高阶的收敛近似，且误差小于LDG。
• 在薛定谔方程测试案例中，二阶导数误差保持在量级1，但由于虚假模态的抵消，不阻碍能量等可观测量的收敛。
• 对于超扩散算子如$f_{xxxx}$，RDG可使用3单元模板实现更高精度，而LDG在顺序应用时需使用5单元模板。
• LDG中的主要误差源于与$k$阶谐波相关的高频特征模态，该模态在时间上迅速衰减，解释了误差的瞬态特性。