[论文解读] On discrete functional inequalities for some finite volume schemes

Marianne Bessemoulin‐Chatard, Claire Chainais-Hillairet+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 4

一句话总结

本论文在一般网格上针对任意边界条件，建立了有限体积格式的离散Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式与Poincaré-Sobolev不等式，其基础为BV(Ω)到L^{N/(N-1)}(Ω)的连续嵌入。关键贡献在于，通过DDFV（离散对偶有限体积）框架中的离散函数不等式，构建了一个稳健的非线性与各向异性椭圆及抛物型问题的收敛性分析框架。

ABSTRACT

We prove several discrete Gagliardo-Nirenberg-Sobolev and Poincaré-Sobolev inequalities for some approximations with arbitrary boundary values on finite volume meshes. The keypoint of our approach is to use the continuous embedding of the space $BV(Ω)$ into $L^{N/(N-1)}(Ω)$ for a Lipschitz domain $ Ω\subset \mathbb{R}^{N}$, with $N \geq 2$. Finally, we give several applications to discrete duality finite volume (DDFV) schemes which are used for the approximation of nonlinear and non isotropic elliptic and parabolic problems.

研究动机与目标

• 推导适用于非线性与各向异性椭圆及抛物型问题的有限体积格式的离散函数不等式。
• 将Poincaré-Sobolev不等式与Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式推广至具有任意边界值的一般有限体积网格。
• 基于BV空间嵌入，为DDFV格式的收敛性与误差分析提供理论基础。
• 通过连续嵌入的统一分析框架，统一并推广现有离散不等式。
• 支持具有Dirichlet、Neumann或混合边界条件问题的DDFV格式收敛性分析。

提出的方法

• 以Lipschitz区域Ω ⊂ ℝ^N（N ≥ 2）中BV(Ω)空间到L^{N/(N-1)}(Ω)的连续嵌入作为基础分析工具。
• 将该嵌入应用于推导有限体积近似中的离散不等式，尤其在DDFV（离散对偶有限体积）框架中。
• 采用基于单元与对偶单元未知量的离散梯度形式，界面通量在网格界面处定义。
• 利用Cauchy-Schwarz不等式及涉及网格角度α_T的几何估计，将离散半范数以L^q范数形式有界。
• 通过调整底层连续嵌入论证，分别推导出齐次Dirichlet与Neumann边界条件下的不等式。
• 建立离散函数L^q范数与离散W^{1,p}半范数之间的有界关系，常数依赖于区域几何与网格正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般网格上，针对具有任意边界条件的有限体积格式，建立离散Gagliardo-Nirenberg-Sobolev与Poincaré-Sobolev不等式？
• RQ2 如何将BV(Ω)到L^{N/(N-1)}(Ω)的连续嵌入适配到有限体积框架中，以推导稳健的离散函数不等式？
• RQ3 离散不等式常数对网格正则性（特别是角度α_T）的依赖性与稳定性如何？
• RQ4 这些不等式如何推广至具有混合或非齐次边界条件的DDFV格式？
• RQ5 这些不等式能否支持DDFV框架下非线性与各向异性椭圆及抛物型问题的收敛性分析？

主要发现

• 在2D中，针对具有齐次Dirichlet边界条件的DDFV格式，建立了离散Poincaré-Sobolev不等式，适用于1 ≤ p < 2且1 ≤ q ≤ p* = 2p/(2-p)，以及p ≥ 2且1 ≤ q < ∞的情况。
• 不等式中的常数依赖于p、q、边界部分̺0、区域Ω以及网格的最小角度α_T，分母中包含1/(sin(α_T))^{1/p}因子。
• 当p=2时，不等式退化为具有常数与1/sin(α_T)成正比的离散Poincaré型估计，证实了在网格扭曲下的鲁棒性。
• 该方法通过在L^q范数中提供离散解的统一有界性，支持非线性与各向异性PDE的收敛性分析。
• 该方法通过避免对网格施加限制性假设（如正交性）并推广至任意边界值，推广了先前结果。
• 通过基于统一嵌入的论证，该框架同时支持Dirichlet与Neumann边界条件，增强了对实际问题的适用性。