[论文解读] On discrete least square projection in unbounded domain with random evaluations and its application to parametric uncertainty quantification

Tao Tang, Tao Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文提出在无界域中使用随机采样进行离散最小二乘投影时，以埃尔米特函数和拉盖尔函数替代多项式，显著提升了稳定性，实现了设计点数量相对于近似空间维数的线性缩放。此外，引入一个缩放因子以加速收敛，尤其适用于衰减速度比高斯/伽马测度更快或更慢的函数。

ABSTRACT

This work is concerned with approximating multivariate functions in unbounded domain by using discrete least-squares projection with random points evaluations. Particular attention are given to functions with random Gaussian or Gamma parameters. We first demonstrate that the traditional Hermite (Laguerre) polynomials chaos expansion suffers from the extit{instability} in the sense that an extit{unfeasible} number of points, which is relevant to the dimension of the approximation space, is needed to guarantee the stability in the least square framework. We then propose to use the Hermite/Laguerre {\em functions} (rather than polynomials) as bases in the expansion. The corresponding design points are obtained by mapping the uniformly distributed random points in bounded intervals to the unbounded domain, which involved a mapping parameter $L$. By using the Hermite/Laguerre {\em functions} and a proper mapping parameter, the stability can be significantly improved even if the number of design points scales extit{linearly} (up to a logarithmic factor) with the dimension of the approximation space. Apart from the stability, another important issue is the rate of convergence. To speed up the convergence, an effective scaling factor is introduced, and a principle for choosing quasi-optimal scaling factor is discussed. Applications to parametric uncertainty quantification are illustrated by considering a random ODE model together with an elliptic problem with lognormal random input.

研究动机与目标

• 解决在使用随机采样时，传统埃尔米特/拉盖尔多项式混沌方法在无界域中进行离散最小二乘法时出现的数值不稳定性问题。
• 克服基于多项式的最小二乘法方法在稳定性方面所需样本数呈指数增长的限制。
• 为具有高斯或伽马分布参数的多元函数，开发一种稳定且高效的最小二乘逼近框架。
• 通过针对目标函数衰减特性量身定制的有效缩放因子，提升收敛速率。
• 通过常微分方程（ODE）和椭圆型PDE模型（含对数正态输入）的数值实验，验证该方法在参数不确定性量化中的有效性。

提出的方法

• 在最小二乘投影中，将埃尔米特/拉盖尔多项式替换为埃尔米特/拉盖尔函数作为基函数，以增强稳定性。
• 通过参数化变换（参数为 $L$）将有界区间内均匀分布的随机点映射到无界域，以控制设计矩阵的条件数。
• 在函数表示中引入缩放因子 $\alpha$，以加速收敛，尤其适用于衰减速率非标准的函数。
• 基于有效支撑大小 $M$ 的准则，确定一个准最优缩放因子 $\alpha$。
• 采用点剔除策略（公式 3.33）以在使用随机采样时改善数值条件。
• 将该框架应用于参数不确定性量化问题，包括一个随机常微分方程和一个对数正态输入的椭圆型PDE，通过稀疏网格配置法获得高保真参考解。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在使用随机采样进行离散最小二乘法时，传统埃尔米特/拉盖尔多项式混沌方法在无界域中会失效？
• RQ2 在无界域的最小二乘逼近中，埃尔米特/拉盖尔函数是否能比多项式提供更好的稳定性？
• RQ3 如何将所需采样点数量从指数缩放降低至与近似空间维数呈线性关系？
• RQ4 当目标函数的衰减速度比基础高斯/伽马测度更快或更慢时，应采取何种有效策略以加速收敛？
• RQ5 映射参数 $L$ 与缩放因子 $\alpha$ 在控制稳定性与收敛速率方面如何相互作用？

主要发现

• 传统埃尔米特/拉盖尔多项式混沌方法在最小二乘逼近中维持稳定性，所需样本数呈 $(\#\Lambda)^{c\#\Lambda}$ 的不可行增长。
• 使用埃尔米特/拉盖尔函数替代多项式，可实现设计点数量与近似空间维数呈线性关系（最多含对数因子）的稳定逼近。
• 通过使用映射后的均匀分布随机点及合适的映射参数 $L$，设计矩阵的条件数显著降低。
• 基于有效支撑大小 $M$ 可确定一个准最优缩放因子 $\alpha$，从而加快收敛，尤其适用于非高斯衰减的函数。
• 数值实验表明，即使不使用缩放，采用线性采样规则的埃尔米特函数方法也能实现良好的收敛速率，而引入缩放可进一步提升性能。
• 该方法成功应用于随机常微分方程和对数正态输入的椭圆型PDE，展示了在实际参数不确定性量化问题中的鲁棒性与高效性。