[论文解读] On discrete time hedging in d-dimensional option pricing models

Mika Hujo|ArXiv.org|Mar 16, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过使用分段常数投资组合来近似连续时间随机积分，研究了在 d 维扩散模型中的离散时间对冲。当使用确定性的非等距时间网格时，该研究建立了对冲误差的最优 L² 收敛速率 n⁻¹ᐟ²，优于以往在多维设定下对数字期权的 n⁻¹ᐟ⁴ 速率。

ABSTRACT

We study the approximation of certain stochastic integrals with respect to a d-dimensional diffusion by corresponding stochastic integrals with piece-wise constant integrands. In finance this corresponds to replacing a continuously adjusted portfolio by discretely adjusted one. The approximation error is measured with respect to $L^2$ and it is shown that under certain assumptions the approximation rate is $n^{-1/2}$ when one optimizes over deterministic but not necessarily equidistant time-nets.

研究动机与目标

• 分析在 d 维扩散模型中对欧洲期权进行离散时间对冲时的近似误差。
• 通过在非等距时间网格上进行优化，改进现有收敛速率，特别是将多维设定下对数字期权的 n⁻¹ᐟ⁴ 速率提升。
• 将一维最优网格设计结果扩展到多维情形，包括含漂移项的模型。
• 在对收益函数和扩散系数的弱正则性条件下，建立一般性的 L² 收敛速率 n⁻¹ᐟ²。
• 为多资产衍生品定价中的实际投资组合再平衡策略提供理论基础。

提出的方法

• 通过在确定性时间网格 0 = t₀ < ⋯ < tₙ = T 上，将连续时间随机积分 ∫NᵤᵏdXᵤᵏ 近似为离散和 ∑ᵢNₜᵢ₋₁ᵏ(Xₜᵢᵏ−Xₜᵢ₋₁ᵏ)。
• 衡量连续对冲策略与离散对冲策略之间的 L² 近似误差。
• 在最多包含 n+1 个节点的所有确定性时间网格上优化误差，允许非等距和非均匀划分。
• 应用 Itô 公式和 Malliavin 微积分技术，以收益函数和扩散系数的导数来控制误差。
• 利用扩散过程转移密度的尾部估计，来界定被积函数及其导数的矩。
• 应用 Hölder 不等式和矩界，以控制误差过程的 L² 范数，尤其适用于多项式增长或具有奇点（如数字期权）的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用非等距时间网格时，在 d 维扩散模型中，离散时间对冲的最优收敛速率是什么？
• RQ2 通过在一般确定性时间网格上进行优化，能否改进多维模型中欧洲数字期权的 n⁻¹ᐟ⁴ 收敛速率？
• RQ3 基础扩散过程中漂移项的存在如何影响离散对冲策略的收敛速率？
• RQ4 在何种收益函数和扩散系数条件下，多维设定下的 n⁻¹ᐟ² 速率成立？
• RQ5 与优化后的非等距网格相比，标准的等距时间网格在多大程度上无法实现最优收敛？

主要发现

• 本文在所有最多包含 n+1 个节点的确定性时间网格上进行优化时，建立了 d 维扩散模型中离散时间对冲的最优 L² 收敛速率 n⁻¹ᐟ²。
• 该速率优于以往在多维情况下对欧洲数字期权已知的 n⁻¹ᐟ⁴ 速率，通过将等距网格替换为优化后的非等距网格实现。
• 该结果适用于包含数字期权在内的函数类 f，前提是扩散系数和收益函数满足弱正则性和矩条件。
• 该分析考虑了基础扩散过程中存在的漂移项，这些项在文献中常被忽略，但本文中被纳入考量。
• 通过仔细的矩估计和对冲误差 Malliavin 导数的界，结合转移密度的尾部行为，实现了该收敛速率。
• 证明依赖于 Hölder 不等式以及对被积函数及其导数的矩界，确保在给定假设下 L² 误差的有限性。