[论文解读] On Distance-$d$ Independent Set and other problems in graphs with few minimal separators

Pedro Montealegre, Ioan Todinca|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本论文通过证明当 $d$ 为偶数时，距离-$d$ 独立集问题在最小分离集数量为多项式级别的图（$mathcal{G}_{operatorname{poly}}$）上可多项式时间求解，扩展了 Fomin 和 Villanger 关于图上少最小分离集问题的多项式时间算法。论文证明当 $d-1$ 为奇数时，图的 $(d-1)$ 次幂的最小分离集数量不超过原图，从而使得对偶数 $d$ 可基于最小分离集进行动态规划。该结果还扩展至弦图和环形弧图等子类上的连通点覆盖和连通反馈点集问题。

ABSTRACT

Fomin and Villanger (STACS 2010) proved that Maximum Independent Set, Feedback Vertex Set, and more generally the problem of finding a maximum induced subgraph of treewith at most a constant $t$, can be solved in polynomial time on graph classes with polynomially many minimal separators. We extend these results in two directions. Let $\Gpoly$ be the class of graphs with at most $\poly(n)$ minimal separators, for some polynomial $\poly$. We show that the odd powers of a graph $G$ have at most as many minimal separators as $G$. Consequently, extsc{Distance-$d$ Independent Set}, which consists in finding maximum set of vertices at pairwise distance at least $d$, is polynomial on $\Gpoly$, for any even $d$. The problem is NP-hard on chordal graphs for any odd $d \geq 3$. We also provide polynomial algorithms for Connected Vertex Cover and Connected Feedback Vertex Set on subclasses of $\Gpoly$ including chordal and circular-arc graphs, and we discuss variants of independent domination problems.

研究动机与目标

• 将图问题的多项式时间可解性从有界树宽的诱导子图扩展至具有距离和连通性约束的问题。
• 解决在 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 上距离-$d$ 独立集问题的复杂性，特别是弦图和弱弦图中的偶数和奇数 $d$。
• 研究连通点覆盖和连通反馈点集在 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 子类（如弦图和环形弧图）上是否为多项式时间可解。
• 探索最小分离集、图幂与 CMSO 可表达性质在动态规划框架中的相互作用。

提出的方法

• 利用当 $d-1$ 为奇数时，图 $G$ 的 $(d-1)$ 次幂的最小分离集数量不超过 $G$ 的事实，将距离-$d$ 独立集问题归约为 $G^{d-1}$ 上的问题。
• 应用 Fomin 和 Villanger (2010) 的方法，在最小分离集和潜在最大团上进行动态规划，以在 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 上求解偶数 $d$ 的距离-$d$ 独立集问题。
• 通过将连通点覆盖问题归约为 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 中二分图上的红-蓝支配集问题，证明当红-蓝支配集为多项式时间可解时，连通点覆盖也为多项式时间可解。
• 通过已知的树增强和基本图结果，证明红-蓝支配集在弦二分图和圆二分图上为多项式时间可解。
• 扩展 Fomin 等人 (2013) 的框架，通过 CMSO 逻辑和诱导子图条件，纳入连通性和支配约束。
• 证明在关键归约下，最小分离集数量最多增加 $mathcal{O}(n)$，从而保持多项式时间可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 上，距离-$d$ 独立集问题对偶数 $d$ 是否为多项式时间可解？
• RQ2 连通点覆盖是否可在弦图和环形弧图上多项式时间求解，这些图是 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 的子类？
• RQ3 在图幂下，特别是奇数次幂下，最小分离集数量是否保持有界？
• RQ4 在 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 中的二分图（如弦二分图和圆二分图）上，红-蓝支配集是否为多项式时间可解？
• RQ5 Fomin 和 Villanger 的动态规划框架能否扩展以处理诱导子图中的连通性和支配约束？

主要发现

• 由于图的奇数次幂保持最小分离集数量不变，距离-$d$ 独立集在 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 上对任意偶数 $d$ 均可多项式时间求解。
• 对于任意奇数 $d \geq 3$，当最小分离集的多项式界渐近大于 $n$ 时，该问题在 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 上为 NP-难。
• 连通点覆盖在弦图和环形弧图上为多项式时间可解，因为这些图是 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 的子类，且其二分图对应物上的红-蓝支配集为多项式时间可解。
• 红-蓝支配集在弦二分图上为多项式时间可解（由 Kanj 等人证明），且在圆二分图上通过归约为平面多重图上的树增强问题可得多项式时间解。
• 从连通点覆盖到红-蓝支配集的归约中，最小分离集数量最多增加 $mathcal{O}(n)$，从而在 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 上保持多项式时间可解性。
• 该框架可扩展至需有界树宽诱导子图并附加 CMSO 约束（如连通性或支配性）的问题，适用于 $mathcal{G}_{operatorname{poly}}$ 子类。