[论文解读] On distance, geodesic and arc transitivity of graphs

Alice Devillers, Wei Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文研究了有限图中对称性质的层次结构——具体为s-距离对称性、s-测地线对称性和s-弧对称性，证明当s ∈ {1,2,3}时，存在无穷多个测地线对称图，它们是s-弧对称但不是(s+1)-弧对称的，且具有任意大的直径。此外，本文对非2-弧对称的素数度数2-测地线对称图进行了分类，表明其存在当且仅当p ≡ 1 (mod 4)，且唯一实现为K_{p+1}的非二分对称双覆盖，其自同构群为PSL(2,p) × Z₂。

ABSTRACT

We compare three transitivity properties of finite graphs, namely, for a positive integer $s$, $s$-distance transitivity, $s$-geodesic transitivity and $s$-arc transitivity. It is known that if a finite graph is $s$-arc transitive but not $(s+1)$-arc transitive then $s\leq 7$ and $s eq 6$. We show that there are infinitely many geodesic transitive graphs with this property for each of these values of $s$, and that these graphs can have arbitrarily large diameter if and only if $1\leq s\leq 3$. Moreover, for a prime $p$ we prove that there exists a graph of valency $p$ that is 2-geodesic transitive but not 2-arc transitive if and only if $p\equiv 1\pmod 4$, and for each such prime there is a unique graph with this property: it is an antipodal double cover of the complete graph $K_{p+1}$ and is geodesic transitive with automorphism group $PSL(2,p) imes Z_2$.

研究动机与目标

• 澄清有限图中s-距离对称性、s-测地线对称性和s-弧对称性之间的关系。
• 确定对于哪些s值，存在测地线对称图，它们是s-弧对称但不是(s+1)-弧对称的，且具有任意大的直径。
• 对所有非2-弧对称的素数度数2-测地线对称图进行分类。
• 识别直径为2的距离对称图在何种条件下不具有测地线对称性。
• 探讨类似的分类结果是否可推广至非素数度数。

提出的方法

• 作者分析了已知的距离对称图家族——Johnson图、汉明图、奇数图和经典广义多边形，以建立具有所需弧对称性质的测地线对称图的无穷多组存在的证据。
• 他们使用群论构造方法，特别是形如Cos(G, H, HgH)的陪集图，以构建和分析具有特定对称性和度数性质的图。
• 对于满足p ≡ 1 (mod 4)的素数度数p，他们利用PSL(2,p)和一个中心对合，构造出唯一的非二分对称双覆盖图，作为K_{p+1}的2-测地线对称图。
• 通过在PGL(2,p)中利用共轭性，证明该构造的同构不变性，即不同子群和元素的选择会产生同构图。
• 通过分析顶点稳定子群及其在邻域和二阶邻域上的作用轨道结构，验证2-测地线对称性。
• 他们利用已知的自同构群和围长结果，证明所构造的图不是2-弧对称的，依据是围长为3且邻域不相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些s值，存在无穷多个测地线对称图，它们是s-弧对称但不是(s+1)-弧对称的，且当这些图具有任意大的直径时？
• RQ2 对于素数度数的2-测地线对称图，其不为2-弧对称的充要条件是什么？
• RQ3 是否存在唯一的素数度数p的2-测地线对称图，其不为2-弧对称？其自同构群是什么？
• RQ4 哪些直径为2的距离对称图不具有测地线对称性？最小的例子是什么？
• RQ5 能否将素数度数2-测地线对称图的分类结果推广至非素数度数？

主要发现

• 对于每个s ∈ {1,2,3,4,5,7}，存在无穷多个测地线对称图，它们是s-弧对称但不是(s+1)-弧对称的。
• 测地线对称图是s-弧对称但不是(s+1)-弧对称的，且具有任意大直径，当且仅当s ≤ 3。
• 对于素数度数p，存在非2-弧对称的2-测地线对称图当且仅当p ≡ 1 (mod 4)。
• 当此类图存在时，其唯一实现为K_{p+1}的非二分对称双覆盖，其自同构群为PSL(2,p) × Z₂。
• Paley图P(q)对所有q ≡ 1 (mod 4)是距离对称的，但仅当q = 5或9时是测地线对称的，因此它是首个已知的直径为2的图族，当q > 9时为距离对称但非测地线对称。
• 所构造的分类图是2-测地线对称但非2-弧对称的，围长为3，直径为3，且具有唯一的大小为2的非可约块系统。