[论文解读] On distance r-dominating and 2r-independent sets in sparse graphs

Zdenĕk Dvořák|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过线性规划对偶性和图增广技术，在稀疏图中建立了距离 $r$-支配集与 $2r$-独立集之间更紧的界限。证明了比率 $\gamma_r(G)/\alpha_{2r}(G)$ 受 $\text{wcol}_r^2(G)$ 限制，改进了先前结果，并在有界扩张图或低度定向图中实现了常数因子近似算法。

ABSTRACT

Dvorak (2013) gave a bound on the minimum size of a distance r dominating set in the terms of the maximum size of a distance 2r independent set and generalized coloring numbers, thus obtaining a constant factor approximation algorithm for the parameters in any class of graphs with bounded expansion. We improve and clarify this dependence using an LP-based argument inspired by the work of Bansal and Umboh (2017).

研究动机与目标

• 改进对稀疏图中距离 $r$-支配集与 $2r$-独立集之间关系的理解。
• 利用基于线性规划的论证，进一步细化和澄清 $\gamma_r(G)$ 与 $\alpha_{2r}(G)$ 之间的依赖关系。
• 在具有有界扩张或低度定向的图类中，为 $\gamma_r(G)$ 建立更紧的近似保证。
• 通过弱染色数和图增广技术，推广先前关于稀疏图中支配与独立性的结果。

提出的方法

• 利用距离 $r$-支配集与 $2r$-独立集问题之间的线性规划对偶性，证明 $\alpha^\star_{2r}(G) = \gamma^\star_r(G)$。
• 引入图 $G$ 的 $r$-增广，以建模距离约束并控制对偶线性规划中的邻域大小。
• 通过顶点定向和度数控制，将 $2r$-独立集转换为 $(2r,b)$-独立集。
• 在 $(2r,b)$-独立集的诱导子图上应用染色论证，提取出大小至少为 $|Y|/(2b\Delta_{2r}(\widehat{G}))$ 的 $2r$-独立子集。
• 通过弱染色数和度数参数，建立 $\gamma_r(G)$、$\alpha_{2r}(G)$ 与 $\alpha_{2r,b}(G)$ 之间的不等式链。
• 将该框架应用于以弱染色数 $\text{wcol}_k(G)$ 表示的界限，推广了有界扩张图和低可比度图中的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 比率 $\gamma_r(G)/\alpha_{2r}(G)$ 能否以弱染色数等稀疏性参数表示？
• RQ2 基于线性规划的技术能否在稀疏图中改进距离 $r$-支配集的现有近似因子？
• RQ3 在图增广下，$2r$-独立集与 $(2r,b)$-独立集之间的关系是什么？
• RQ4 弱染色数和基于定向的参数如何影响 $\gamma_r(G)$ 的近似？
• RQ5 能否通过结构图参数进一步紧致或推广界限 $\gamma_r(G) \leq \text{wcol}_{2r}^2(G) \cdot \alpha_{2r}(G)$？

主要发现

• 本文建立了 $\gamma_r(G) \leq \text{wcol}_r^2(G) \cdot \alpha_{2r}(G)$，优于 Dvořák 的早期界限。
• 证明了 $\alpha^\star_{2r}(G) = \gamma^\star_r(G)$，从而可在多项式时间内精确计算线性规划松弛。
• 对于任意最大入度为 $d$ 的定向图 $G$，有不等式 $\frac{1}{2d+1}\gamma(G) \leq \alpha^\star_2(G)$ 成立，推广了已知结果。
• 本文证明了当 $b = (\Delta_{r-1}(\widehat{G})+1)\Delta_r(\widehat{G}) - \Delta_{r-1}(\widehat{G})$ 时，$\alpha_{2r,b}(G) \geq \alpha^\star_{2r}(G)/2$，从而实现常数因子近似。
• 推导出 $\alpha_{2r}(G) \geq \frac{1}{2b\Delta_{2r}(\widehat{G})} \alpha_{2r,b}(G)$，将 $2r$-独立集与 $(2r,b)$-独立集联系起来。
• 最终的不等式链得出 $\gamma_r(G) \leq 4\text{wcol}_r^2(G)\text{wcol}_{2r}(G) \cdot \alpha_{2r}(G)$，在有界扩张类图中提供了紧致的近似因子。