[论文解读] On distinct consecutive $r$-differences

Junxian Li, George Shakan|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文建立了当集合 $ A $ 具有互异的连续 $ r $-差分时，和集 $ A+B $ 大小的精确下界，证明了 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $，该结果推广了 $ r=1 $ 时 Solymosi 的结果。通过 de Bruijn 序列展示了该界在常数因子范围内为最优。此外，本文进一步证明集合 $ \{\{n\alpha\}\} $ 的连续 $ r $-差分至多有 $ 2r+1 $ 个互异值，推广了 Steinhaus 的三间隙定理。

ABSTRACT

Suppose $A\subset \mathbb{R}$ of size $k$ has distinct consecutive $r$--differences, that is for $1 \leq i \leq k -r$, the $r$--tuples $$(a_{i+1} - a_i , \ldots , a_{i+r} - a_{i + r -1})$$ are distinct. Then for any finite $B \subset \mathbb{R}$, one has $$|A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)}.$$ Utilizing de Bruijn sequences, we show this inequality is sharp up to the constant. Moreover, for the sequence $\{nα\}$, a sharp upper bound for the size of the distinct consecutive $r$--differences is obtained, which generalizes Steinhaus' three gap theorem. A dual problem on the consecutive $r$--differences of the returning times for some $ϕ\in \mathbb{R}$ defined by $\{T : \{Tθ\}

研究动机与目标

• 将 Solymosi 的和集估计 $ |A+B| \gg |A||B|^{1/2} $ 推广至具有互异连续 $ r $-差分（$ r \geq 1 $）的集合。
• 通过 de Bruijn 序列证明所导出的界 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 在常数因子范围内为最优。
• 确定无理数 $ \alpha $ 下集合 $ \{\{n\alpha\}\} $ 中互异连续 $ r $-差分的最大数量，推广 Steinhaus 的三间隙定理。
• 将分析扩展至 Beatty 序列中的返回时间，证明 $ R_\theta(\phi) $ 的连续 $ r $-差分至多有 $ 2r+1 $ 个互异值，推广了 Slater 对 $ r=1 $ 的结果。

提出的方法

• 将互异的连续 $ r $-差分定义为互异的 $ r $-元组 $ (a_{i+1}-a_i, \dots, a_{i+r}-a_{i+r-1}) $，其中 $ 1 \leq i \leq k-r $。
• 基于 de Bruijn 序列的结构，使用组合论证构造出在常数因子范围内达到下界的极值集合。
• 应用连分数理论与区间划分方法，分析分数部分 $ \{n\alpha\} $ 和 $ \{s\theta\} $ 的分布。
• 通过 $ r $ 的归纳法，基于区间 $ [0,\phi) $ 的划分，证明 $ R_\theta(\phi) $ 中互异连续 $ r $-差分的数量至多为 $ 2r+1 $。
• 利用 $ [0,\phi) $ 中区间与返回时间中连续 $ r $-差分之间的一一对应关系，对所有可能的 $ r $-元组进行分类。
• 证明在实数与有限域两种情形下，和集界 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 成立，且隐含常数仅依赖于 $ r $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当集合 $ A $ 具有互异的连续 $ r $-差分时，$ |A+B| $ 的最佳可能下界是什么？
• RQ2 是否可以改进界 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $，还是该界在常数因子范围内已为最优？
• RQ3 对于无理数 $ \alpha $，集合 $ \{\{n\alpha\}\} $ 中最多可以有多少个互异的连续 $ r $-差分？
• RQ4 返回时间集合 $ R_\theta(\phi) $ 中，互异连续 $ r $-差分的最大数量是多少？
• RQ5 集合 $ \{\{n\alpha\}\} $ 与 $ R_\theta(\phi) $ 在 $ r $-差分结构上如何相互关联？

主要发现

• 对于任意有限集合 $ A,B \subset \mathbb{R} $，若 $ A $ 具有互异的连续 $ r $-差分，则和集大小满足 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $，且隐含常数仅依赖于 $ r $。
• 通过 de Bruijn 序列的构造，证明该界在常数因子范围内为最优。
• 对于集合 $ S_\alpha(N) = \{\{n\alpha\} \}_{n=1}^N $，其互异连续 $ r $-差分的数量至多为 $ 2r+1 $，推广了 Steinhaus 的三间隙定理。
• 对于返回时间集合 $ R_\theta(\phi) = \{ T \in \mathbb{N}^+ : \{T\theta\} < \phi \} $，其互异连续 $ r $-差分的数量同样至多为 $ 2r+1 $，推广了 Slater 对 $ r=1 $ 的结果。
• 该和集界 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 可推广至 $ \mathbb{F}_p $，在 $ A+B \neq \mathbb{F}_p $ 的前提下，其渐近行为保持一致。
• 本文证明了在 $ |A+A| \gg_r |A|^{1+\theta_r/(r+1)} $ 的指数中 $ \theta_r \geq 1 $，并给出构造表明 $ \theta_r \leq 2 $，说明该指数在常数因子范围内为紧致。