[论文解读] On Distribution of Laplacian Eigenvalues of Graphs

Bilal Ahmad Rather|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Graph theory and applications参考文献 62被引用 4

一句话总结

本博士论文研究了各类图矩阵中拉普拉斯特征值的分布，包括拉普拉斯矩阵、归一化拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵以及距离无符号拉普拉斯矩阵。论文推导了图中前k个最大拉普拉斯特征值之和的上界，将布劳沃猜想推广至更广泛的图类，验证了直径为4的树以及非叶顶点数较少的树的拉普拉斯能量猜想，并为幂图和广义距离矩阵推导出精确谱和能量界，特别证明在特定α条件下星图使广义距离能量最小化。

ABSTRACT

The work in this thesis concerns the investigation of eigenvalues of the Laplacian matrix, normalized Laplacian matrix, signless Laplacian matrix and distance signless Laplacian matrix of graphs. In Chapter 1, we present a brief introduction of spectral graph theory with some definitions. Chapter $2$ deals with the sum of $ k $ largest Laplacian eigenvalues $ S_{k}(G) $ of graph $ G $ and Brouwer's conjecture. We obtain the upper bounds for $ S_{k}(G) $ for some classes of graphs and use them to verify Brouwer's conjecture for these classes of graphs. Also, we prove Brouwer's conjecture for more general classes of graphs. In Chapter $3$, we investigate the Laplacian eigenvalues of graphs and the Laplacian energy conjecture for trees. We prove the Laplacian energy conjecture completely for trees of diameter $ 4 $. Further, we prove this conjecture for all trees having at most $ \frac{9n}{25}-2 $ non-pendent vertices. Also, we obtain the sufficient conditions for the truth of conjecture for trees of order $ n $. In Chapter $4$, we determine the normalized Laplacian spectrum of the joined union of regular graphs and obtain the spectrum of some well known graphs. As consequences of joined union, we obtain the normalized Laplacian spectrum of power graphs associated to finite cyclic groups. In Chapter $5$, we find the distance signless Laplacian spectrum of regular graphs and zero-divisor graphs associated to finite commutative ring. Also, we find the bounds for spectral radius of generalized distance matrix. Further, we obtain the generalized distance energy for bipartite graphs and trees. We prove that the complete bipartite graph has minimum generalized distance energy among all connected bipartite graphs. Besides, for $ α\in \big(0, \frac{2n}{3n-2}\big) $, we show that the star graph has minimum generalized distance energy among all trees.

研究动机与目标

• 研究各类图矩阵（包括拉普拉斯矩阵、归一化拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵）中拉普拉斯特征值的分布。
• 将布劳沃猜想关于前k个最大拉普拉斯特征值之和的结论推广至更广泛的图类。
• 证明直径为4的树以及非叶顶点数不超过(9n/25)−2的树的拉普拉斯能量猜想。
• 确定正则图并联并集的归一化拉普拉斯谱，并将其应用于有限循环群的幂图。
• 推导二分图和树的谱半径及广义距离能量的界，并识别使能量最小化的极值图。

提出的方法

• 利用图的结构性质，推导前k个最大拉普拉斯特征值之和S_k(G)的上界。
• 应用谱界和特征值交错原理，验证特定图族中布劳沃猜想的成立。
• 使用广义距离矩阵D_α(G) = αD(G) + (1−α)A(G)，其中D(G)为距离矩阵，A(G)为邻接矩阵。
• 采用广义距离能量公式E^D_α(T) = 2 max_{1≤j≤n} {∑_{i=1}^j ∂_i(T) − (2αjW(T))/n}，其中W(T)为Wiener指标。
• 结合极值图论与特征值控制不等式，识别使广义距离能量最小化的图。
• 运用谱分解与矩阵分析，计算并联并集与幂图的归一化拉普拉斯谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 布劳沃猜想关于前k个最大拉普拉斯特征值之和在哪些图类中成立？能否推广至更一般的图族？
• RQ2 拉普拉斯能量猜想是否对所有直径为4的树成立？何种结构条件可确保其对非叶顶点数较少的树成立？
• RQ3 正则图并联并集的精确归一化拉普拉斯谱为何？其在有限循环群的幂图中如何应用？
• RQ4 广义距离矩阵D_α(G)的谱半径有何界？哪些图使广义距离能量最小化？
• RQ5 在哪些α取值下，星图S_n是所有n阶树中广义距离能量的最小化者？

主要发现

• 拉普拉斯能量猜想对所有直径为4的树均被完全证明成立。
• 该猜想对所有非叶顶点数不超过(9n/25)−2的树均成立。
• 当α ∈ (0, 2n/(3n−2))时，星图S_n是在所有n阶树中使广义距离能量最小化的图。
• 当α ∈ [2n/(3n−2), 1)时，S_n的广义距离能量由一个含n和α依赖平方根项的闭式表达式给出。
• 推导出正则图并联并集的归一化拉普拉斯谱，并应用于确定有限循环群幂图的谱。
• 证明完全二分图的广义距离能量在所有连通二分图中最小。