[论文解读] On Distributionally Robust Chance Constrained Programs with Wasserstein Distance

Weijun Xie|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 45被引用 24

一句话总结

本文提出了基于Wasserstein模糊集的分布鲁棒机会约束规划（DRCCPs）的精确且高效的公式化方法。研究表明，DRCCPs可重述为条件风险价值（CVaR）约束问题，从而实现紧致的内近似与外近似，并提出了一种无需大M系数的混合整数锥规划公式化方法，用于二值DRCCPs，显著优于传统大M方法的计算性能。

ABSTRACT

This paper studies a distributionally robust chance constrained program (DRCCP) with Wasserstein ambiguity set, where the uncertain constraints should be satisfied with a probability at least a given threshold for all the probability distributions of the uncertain parameters within a chosen Wasserstein distance from an empirical distribution. In this work, we investigate equivalent reformulations and approximations of such problems. We first show that a DRCCP can be reformulated as a conditional value-at-risk constrained optimization problem, and thus admits tight inner and outer approximations. We also show that a DRCCP of bounded feasible region is mixed integer representable by introducing big-M coefficients and additional binary variables. For a DRCCP with pure binary decision variables, by exploring the submodular structure, we show that it admits a big-M free formulation, which can be solved by a branch and cut algorithm. Finally, we present a numerical study to illustrate the effectiveness of the proposed formulations.

研究动机与目标

• 开发基于Wasserstein模糊集的分布鲁棒机会约束规划（DRCCPs）的精确且计算可处理的重述方法。
• 通过利用条件风险价值（CVaR）重述方法，建立DRCCPs的最紧致内近似与外近似。
• 针对具有有界可行域的DRCCPs，使用大M系数和二进制变量提供混合整数锥规划公式化。
• 通过利用子模结构，为二值DRCCPs开发无大M系数的公式化方法，从而通过分支定界法实现更高效的求解。
• 通过数值实验，实证验证所提公式的有效性及计算优越性。

提出的方法

• 将DRCCP重述为条件风险价值（CVaR）约束的优化问题，从而实现紧致的内近似与外近似。
• 通过大M系数和额外的二进制变量，推导出具有有界可行域的DRCCPs的混合整数锥规划公式化。
• 在二值DRCCP情形下识别出子模结构，以构建避免使用大系数值的无大M系数公式化。
• 提出一种用于求解二值DRCCPs无大M系数公式的分支定界算法。
• 使用Wasserstein距离定义以经验分布为中心的模糊集，确保对分布偏移的鲁棒性。
• 采用基于样本的经验分布，并利用Wasserstein距离的收敛性质，确保统计一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有Wasserstein模糊集的分布鲁棒机会约束规划能否被重述为CVaR约束问题？
• RQ2 此类DRCCP的最紧致内近似与外近似是什么？
• RQ3 具有有界可行域的DRCCP能否通过大M系数精确表示为混合整数锥规划？
• RQ4 能否通过利用结构特性，在二值DRCCP的公式化中消除大M系数？
• RQ5 在实践中，无大M系数公式的计算性能与传统大M公式化相比如何？

主要发现

• 无大M系数的二值DRCCP公式化显著优于大M公式化，平均在10分钟内求解所有实例，而大M模型频繁达到时间限制。
• 在低风险和小Wasserstein半径条件下，无大M系数模型的平均求解时间为73.2秒，而大M模型为1467.6秒。
• 在高风险（ε = 0.1）和小δ条件下，无大M系数模型的平均求解时间为131.5秒，而大M模型平均为3600秒（时间限制）。
• 无大M系数模型仅使用O(n)个二进制变量和O(N)个连续变量，而大M模型使用O(N + n)个二进制变量和O(N×I)个连续变量，显著降低模型复杂度。
• 无大M系数公式化避免了大系数值，而大系数值已知会降低求解器性能和数值稳定性。
• 数值结果证实，增加ε或减小δ均会增加两种公式的求解时间，但无大M系数模型在所有设置下均显著更快。