[论文解读] On domination perfect graphs

Jerzy Topp, Paweł Żyliński|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文对 $γ\beta$-完美图进行了表征——即连通的非平凡图，其任意非平凡诱导连通子图 $H$ 的支配数 $\gamma(H)$ 等于覆盖数 $\beta(H)$。作者通过基本图论论证与子图极小性原理，证明此类图要么是直径至多为四的树，要么是 $K_{2,n}$ 的连通子图，从而统一了关于支配与点覆盖完美性先前的研究结果。

ABSTRACT

Let $γ(G)$ and $β(G)$ denote the domination number and the covering number of a graph $G$, respectively. A connected non-trivial graph $G$ is said to be $γβ$-{perfect} if $γ(H)=β(H)$ for every non-trivial induced connected subgraph $H$ of $G$. In this note we present an elementary proof of a characterization of the $γβ$-perfect graphs.

研究动机与目标

• 表征所有满足：对每个非平凡诱导连通子图 $H$，其支配数 $\gamma(H)$ 等于覆盖数 $\beta(H)$ 的图。
• 统一并提供对文献 [1] 和 [3] 中关于 $γ\beta$-完美图先前结果的初等证明。
• 建立连通图在所有诱导子图中 $\gamma$ 与 $\beta$ 保持相等的充要条件。
• 通过排除特定子图：$C_3$、$C_5$ 和 $P_6$，明确此类图的结构，证明仅直径 ≤4 的树或 $K_{2,n}$ 的子图满足该条件。

提出的方法

• 使用命题 1 建立基础情形：所有非平凡直径 ≤4 的树以及所有 $K_{2,n}$ 的连通子图均为 $γ\beta$-完美图。
• 应用命题 2，其指出：若连通生成子图 $F$ 满足 $\gamma(F) < \beta(F)$，则 $H$ 不可能是 $γ\beta$-完美图。
• 采用反证法证明：若 $G$ 是 $γ\beta$-完美图，则 $C_3$、$C_5$ 和 $P_6$ 不可能是其子图（即使作为诱导子图）。
• 分析含圈图的结构，表明任意圈必为无弦 4-圈 ($C_4$)，且其余所有顶点仅与该圈中两个非邻接顶点相邻，从而形成 $K_{2,n}$ 结构。
• 利用 $P_6$ 不作为子图的性质，约束邻域结构，证明所有位于 4-圈之外的顶点，其邻域必须包含于该圈中两个非邻接顶点的集合中。
• 应用极值图论推理：若图 $G$ 避免 $C_3$、$C_5$ 和 $P_6$，则其结构被限制为直径 ≤4 的树或 $K_{2,n}$ 的子图。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些连通图满足：对每个非平凡诱导连通子图 $H$，均有 $\gamma(H) = \beta(H)$？
• RQ2 图必须具备何种结构特性，才能确保其在所有诱导子图中支配数与点覆盖数相等？
• RQ3 为何 $C_3$、$C_5$ 和 $P_6$ 被排除在 $γ\beta$-完美图之外？其缺失如何表征该图类？
• RQ4 能否通过禁止子图与结构约束完全描述 $γ\beta$-完美图类？
• RQ5 是否存在一种统一且初等的表征方式，将早期研究结果整合为对 $γ\beta$-完美图的完整刻画？

主要发现

• 连通的非平凡图 $G$ 是 $γ\beta$-完美图，当且仅当其为直径至多为四的树，或对某个 $n \geq 2$，为 $K_{2,n}$ 的连通子图。
• $C_3$、$C_5$ 和 $P_6$ 不是 $γ\beta$-完美图，且其作为子图（即使为诱导子图）的存在会破坏 $γ\beta$-完美性条件。
• 若图 $H$ 包含一个连通生成子图 $F$ 满足 $\gamma(F) < \beta(F)$，则 $H$ 不可能是 $γ\beta$-完美图，此结论用于排除 $P_6$ 作为子图。
• 任何 $γ\beta$-完美图中的圈必为无弦 4-圈，且其余所有顶点仅与该圈中两个非邻接顶点相邻。
• $P_6$ 作为子图的缺失，强制位于 4-圈之外的所有顶点，其邻域必须包含于该圈中两个非邻接顶点的集合中，从而导致 $K_{2,n}$ 结构。
• 该表征是紧致的：所有满足条件的图要么是直径 ≤4 的树，要么是 $K_{2,n}$ 的子图，且所有此类图均为 $γ\beta$-完美图。