[论文解读] On double cyclic codes over Z_4

Jian Gao, Minjia Shi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文研究了 ℤ₄ 上的双循环码，确定了其作为 R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) 中 R[x]-子模的生成多项式和最小生成集。建立了双循环码与其对偶之间的对偶关系，并证明了可通过格雷映射从这些码构造出最优或次优的非线性二元码，从而将 ℤ₄-循环码的构造推广至广义的双循环结构。

ABSTRACT

Let $R=\mathbb{Z}_4$ be the integer ring mod $4$. A double cyclic code of length $(r,s)$ over $R$ is a set that can be partitioned into two parts that any cyclic shift of the coordinates of both parts leaves invariant the code. These codes can be viewed as $R[x]$-submodules of $R[x]/(x^r-1) imes R[x]/(x^s-1)$. In this paper, we determine the generator polynomials of this family of codes as $R[x]$-submodules of $R[x]/(x^r-1) imes R[x]/(x^s-1)$. Further, we also give the minimal generating sets of this family of codes as $R$-submodules of $R[x]/(x^r-1) imes R[x]/(x^s-1)$. Some optimal or suboptimal nonlinear binary codes are obtained from this family of codes. Finally, we determine the relationship of generators between the double cyclic code and its dual.

研究动机与目标

• 刻画 ℤ₄ 上双循环码作为 R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) 中 R[x]-子模的代数结构。
• 确定这些码的生成多项式和最小生成集。
• 建立 ℤ₄ 上双循环码与其对偶之间的对偶关系。
• 证明可通过格雷映射从该类码构造出最优或次优的非线性二元码。

提出的方法

• 将双循环码表示为 R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) 中的 R[x]-子模，其中 R = ℤ₄。
• 利用多项式因式分解和 Hensel 提升法，推导码的生成多项式 F₁(x)、l(x) 和 F₂(x)。
• 应用格雷映射将 ℤ₄-码转换为二元码，并评估其非线性性质。
• 通过商环中的逆多项式与模运算，推导对偶码的生成多项式。
• 利用最大公因数与互反多项式运算，建立码与其对偶生成元之间的关系。
• 通过具体示例验证结果，包括对偶码生成元与码大小的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 ℤ₄ 上的双循环码代数表征为 R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) 中的 R[x]-子模？
• RQ2 ℤ₄ 上双循环码的最小生成集是什么？它们与生成多项式有何关系？
• RQ3 双循环码与其对偶码在 ℤ₄ 上的生成多项式之间存在何种精确关系？
• RQ4 能否通过格雷映射从 ℤ₄ 上的双循环码构造出最优或次优的非线性二元码？
• RQ5 生成多项式的次数与最大公因数如何影响对偶码的大小与结构？

主要发现

• 本文确定了 ℤ₄ 上双循环码作为 R[x]/(x^r−1) × R[x]/(x^s−1) 中 R[x]-子模的生成多项式，提供了完整的代数表征。
• 推导了这些码的最小生成集，表明它们由 ℤ₄ 上特定的多项式组合生成。
• 自由双循环码的对偶码也是双循环码，其生成元通过最大公因数与互反多项式运算显式确定。
• 当码为自由码时，对偶码的生成多项式为 F₁*(x) = (x^r−1)/gcd(F₁(x),l(x)) 和 F₂*(x) = (x^s−1)gcd(F₂(x),l(x))/(F₁(x)F₂(x))。
• 一个示例表明，一个 (3,9)-码满足 |C| = 4⁴，其对偶码大小为 4⁸，验证了对偶结构。
• 该构造通过格雷映射生成最优或次优的非线性二元码，扩展了已知的 ℤ₄-循环码结果。