[论文解读] On Douglas general $(α,β)$-metrics

Xiaoming Wang, Benling Li|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过推导决定此类Finsler度量具有零Douglas曲率的偏微分方程组，对Douglas一般$(\alpha,\beta)$-度量进行了表征。通过求解这些PDE，提供了完整的解，从而通过显式函数$\phi(b^2,s)$和$\beta$的协变导数条件，构造出新的非黎曼Douglas度量。其关键贡献在于，在不施加$\beta$关于$\alpha$闭合或共形等限制性假设的前提下，对更广泛的general $(\alpha,\beta)$-度量类中的Douglas度量进行了全面分类。

ABSTRACT

Douglas metrics are metrics with vanishing Douglas curvature which is an important projective invariant in Finsler geometry. To find more Douglas metrics, in this paper we consider a class of Finsler metrics called general $(α,β)$-metrics, which are defined by a Riemannian metric $α=\sqrt{a_{ij}(x)y^iy^j}$ and a $1$-form $β=b_i(x)y^i$. We obtain the differential equations that characterizes these metrics with vanishing Douglas curvature. By solving the equivalent PDEs, the metrics in this class are totally determined. Then many new Douglas metrics are constructed.

研究动机与目标

• 将Douglas度量的分类拓展至$\beta$关于$\alpha$非闭合或非共形的受限情况之外。
• 表征在维度$n \geq 3$下所有具有零Douglas曲率的非黎曼一般$(\alpha,\beta)$-度量。
• 推导出完全确定此类Douglas度量的微分方程组。
• 通过求解推导出的PDE并指定函数$\phi(b^2,s)$、$k(x)$、$c(b^2)$、$\mu(b^2)$和$\nu(b^2)$，构造显式的新Douglas度量示例。

提出的方法

• 通过分析其Douglas曲率，推导出一般$(\alpha,\beta)$-度量$F = \alpha \phi(b^2, s)$（其中$s = \beta/\alpha$）为Douglas度量的必要且充分条件。
• 建立两个方程的系统：一个关于$\phi$的二阶PDE（方程1.3）和一个涉及函数$k(x)$、$c(b^2)$、$\mu(b^2)$和$\nu(b^2)$的协变导数$b_{i|j}$条件（方程1.4）。
• 通过变量替换$\zeta(b^2, s)$求解PDE（1.3），并将$\phi$表示为一个任意光滑函数$h(b^2)$与特定有理-三角-指数表达式的组合。
• 利用测地线系数公式$G^i = \hat{G}^i + k\alpha \{[(1-c)s^2 + cb^2]\Theta + b^2\Xi\}y^i$，将$F$的喷射系数与$\alpha$的喷射系数联系起来，其中$\hat{G}^i$以及$\Theta, \Xi$被显式定义。
• 通过选择$c(b^2)$、$\mu(b^2)$、$\nu(b^2)$和$\Phi(\zeta)$的具体形式，构造显式示例，得到新的Douglas度量，如$\phi(b^2,s) = h(b^2)s + \text{复杂有理-三角函数表达式}$。
• 在$\alpha$为射影平坦（常曲率）或共形于欧氏度量$|y|$时，提供$b_{i|j}$的特殊解，从而得出满足（1.4）式的$\beta$和$k(x)$的具体示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$\beta$不平行于$\alpha$时，一般$(\alpha,\beta)$-度量$F = \alpha \phi(b^2, \beta/\alpha)$为Douglas度量的必要且充分条件是什么？
• RQ2 Douglas曲率条件如何被简化为涉及$\phi$、$b^2$、$s$以及协变导数$b_{i|j}$的PDE系统？
• RQ3 能否显式求解关于$\phi$的PDE（方程1.3）以生成新的非黎曼Douglas度量？
• RQ4 在不假设$\beta$共形或闭合的前提下，满足协变导数条件（1.4）的$\beta$和$k(x)$的结构形式是什么？
• RQ5 如何通过选择特定的函数$c(b^2)$、$\mu(b^2)$、$\nu(b^2)$和$h(b^2)$来构造Douglas度量的显式示例？

主要发现

• 本文通过一个由两个方程构成的系统，完全表征了具有零Douglas曲率的非黎曼一般$(\alpha,\beta)$-度量：一个关于$\phi$的二阶PDE（方程1.3）和一个关于$b_{i|j}$的条件（方程1.4）。
• 通过引入变量替换$\zeta(b^2, s)$，构造了PDE（1.3）的一般解，得到$\phi(b^2,s) = h(b^2)s + \frac{(1+b^2)(1+b^4-b^2s^2)+s^2(1-b^2)}{(1+b^4)^2}\sqrt{\frac{(1-b^2)e^{b^2}}{1+b^4-b^2s^2}}$，其中$h(b^2)$为任意$C^\infty$函数。
• 当$\alpha$为射影平坦（常曲率）时，构造了一个特殊解，其中$\alpha = \frac{\sqrt{(1+\kappa|x|^2)|y|^2 - \kappa\langle x,y\rangle^2}}{1+\kappa|x|^2}$，且$\beta$涉及常数$\delta_1, \delta_2$和向量$a$，满足所需的$b_{i|j}$条件。
• 当$\alpha$共形于$|y|$时，给出了两个显式示例：一个是$\alpha = \frac{1}{2|x|}|y|$，$\beta = 2\varepsilon e^{-|x|^2}\langle x,y\rangle$；另一个是$\alpha = \frac{1}{1+|x|^2}|y|$，$\beta = \frac{1+|x|^2}{1-|x|^2}\langle x,y\rangle$，两者均满足方程（1.4）的有效解。
• 该解结构允许通过自由选择$c(b^2)$、$\mu(b^2)$、$\nu(b^2)$和$h(b^2)$，生成一大类新的Douglas度量，表明该类度量的丰富性远超以往已知情形。
• 本研究通过去除$\beta$为闭合或共形的限制性假设，推广了先前工作，从而为构造非黎曼Douglas度量提供了全面的框架。