[论文解读] On DS functor for affine Lie superalgebras

Maria Gorelik, Vera Serganova|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文研究了非扭仿射李超代数和仿射顶点超代数上的Duflo-Serganova（DS）函子，重点关注其在可积和主摄取水平的真空模上的行为。研究结果表明，对于某些类别的仿射李超代数，DS函子保持了简单仿射顶点超代数的结构，并将简单模映射为简单模，尤其当DS约化后的导代数具有零亏格且为简单李代数时成立。

ABSTRACT

We study Duflo-Serganova functor for non-twisted affine Lie superalgebras and affine vertex superalgebras.

研究动机与目标

• 将Duflo-Serganova函子扩展至仿射李超代数和仿射顶点超代数。
• 确定DS函子保持真空模和简单模结构的条件。
• 将李代数的结果推广至李超代数，特别是主摄取水平的情形。
• 在约化后代数具有零亏格时，建立顶点代数之间的同构关系。
• 探讨DS函子在范畴O中的模上的行为及其与摄取水平的相容性。

提出的方法

• 将DS函子 $\operatorname{DS}_x$ 定义为 $N \mapsto \ker_N x / \operatorname{im}_N x$，其中 $x \in \mathfrak{g}_{\overline{1}}$ 且 $[x,x] = 0$，作用于仿射李超代数上的模。
• 利用 $\operatorname{DS}_x(\operatorname{Vac}^k(\mathfrak{g})) = \operatorname{Vac}^k(\mathfrak{g}_x)$ 的事实，适用于可积真空模。
• 通过奇异向量的性质和Arakawa定理，证明当 $\dot{\mathfrak{g}}_x$ 具有零亏格且不为 $\mathbb{C}$ 时，有 $\operatorname{DS}_x(\operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g})) = \operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g}_x)$。
• 将DS函子应用于顶点超代数，证明在适当条件下有 $\operatorname{DS}_x(V_k(\mathfrak{g})) \cong V_k(\mathfrak{g}_x)$。
• 利用主摄取水平的分类以及最大真子模的结构，证明简单真空模的像仍为简单模。
• 利用DS函子与范畴 $\mathcal{O}$ 的相容性，以及主摄取水平上不可约模由奇异向量生成的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Duflo-Serganova函子保持仿射李超代数的简单真空模 $\operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g})$ 的结构？
• RQ2 对于非扭仿射李超代数，$\operatorname{DS}_x(\operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g})) \cong \operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g}_x)$ 在何时成立？
• RQ3 DS函子在主摄取水平下对仿射顶点超代数 $V_k(\mathfrak{g})$ 的行为如何？
• RQ4 DS函子与仿射李超代数的范畴 $\mathcal{O}$ 之间有何关系？
• RQ5 当 $\mathfrak{g}_x$ 为简单李代数且 $\dot{\mathfrak{g}} \neq B(n+1|n)$ 时，DS函子是否保持顶点代数结构？

主要发现

• 对于非扭仿射李超代数 $\mathfrak{g} = \dot{\mathfrak{g}}^{(1)}$ 和 $x \in \dot{\mathfrak{g}}_{\overline{1}}$，当 $\dot{\mathfrak{g}}_x$ 具有零亏格且 $\dot{\mathfrak{g}}_x \neq \mathbb{C}$ 时，对非负整数 $k$，有 $\operatorname{DS}_x(\operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g})) = \operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g}_x)$ 成立。
• 当 $\dot{\mathfrak{g}}_x$ 为简单李代数且 $\dot{\mathfrak{g}} \neq B(n+1|n)$ 时，在主摄取水平下，DS函子将简单仿射顶点超代数 $V_k(\mathfrak{g})$ 映射为 $V_k(\mathfrak{g}_x)$。
• 在主摄取水平下，有 $\operatorname{DS}_x(\operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g})) \cong \operatorname{Vac}_k(\mathfrak{g}_x)$ 作为 $\mathfrak{g}_x$-模，这意味着对应顶点代数的同构。
• 在 $\dot{\mathfrak{g}}_x$ 满足条件时，任意 $V_k(\mathfrak{g})$-模 $N$ 在 $\operatorname{DS}_x$ 下的像是 $V_k(\mathfrak{g}_x)$-模。
• 若 $N$ 属于范畴 $\mathcal{O}$，则 $\operatorname{DS}_x(N)$ 要么为零，要么为水平 $k$ 的主摄取模的直和。
• 当 $x = \sum x_i$ 且每个 $x_i$ 属于极大迷向根空间时，复合函子 $\operatorname{DS}_S = \operatorname{DS}_{x_1} \circ \cdots \circ \operatorname{DS}_{x_r}$ 也成立，且有 $\operatorname{DS}_S(\mathfrak{g}) \cong \operatorname{DS}_x(\mathfrak{g})$。