[论文解读] On dual stable Grothendieck polynomials and their sums

Motoki Takigiku|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2018

Polynomial and algebraic computation被引用 1

一句话总结

本文证明了双稳定格罗滕迪克多项式 $g_\lambda$ 及其和 $\sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ 具有相同的乘积结构常数，表明在代换 $h_i \mapsto h_i + h_{i-1} + \dots + h_0$ 下，映射 $g_\lambda \mapsto \sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ 是对称函数环上的代数自同态。证明依赖于其佩里类型公式中系数的一致性。

ABSTRACT

We show that the dual stable Grothendieck polynomials $g_\lambda$ and their sums $\sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ have the same product structure constants, that is, the linear map given by $g_\lambda\mapsto\sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ is an algebra automorphism of the ring of symmetric function generated by $h_i\mapsto h_i+h_{i-1}+\dots+h_0$. This is done by seeing their Pieri-type formulas have the same coefficients.

研究动机与目标

• 研究对称函数环中双稳定格罗滕迪克多项式及其和的代数结构。
• 确定将 $g_\lambda$ 映射到 $\sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ 的线性映射是否保持对称函数环的代数结构。
• 比较 $g_\lambda$ 及其和的乘积结构常数，以识别潜在的同构或自同态。
• 确立变换 $h_i \mapsto h_i + h_{i-1} + \dots + h_0$ 在对称函数环上诱导出一个代数自同态。

提出的方法

• 分析双稳定格罗滕迪克多项式 $g_\lambda$ 及其和 $\sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ 的佩里类型公式。
• 比较这两类对称函数在佩里法则中的系数。
• 利用佩里公式中系数相等的事实，推断其乘积展开中结构常数的一致性。
• 证明线性映射 $g_\lambda \mapsto \sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ 保持乘法运算，从而构成代数自同态。
• 验证该映射在初等对称函数上对应于代换 $h_i \mapsto h_i + h_{i-1} + \dots + h_0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 双稳定格罗滕迪克多项式及其和是否具有相同的乘积结构常数？
• RQ2 线性映射 $g_\lambda \mapsto \sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ 是否为对称函数环上的代数自同态？
• RQ3 和族的结构常数是否可由与 $g_\lambda$ 相同的系数模式推导得出？
• RQ4 变换 $h_i \mapsto h_i + h_{i-1} + \dots + h_0$ 是否保持对称函数环中的代数关系？

主要发现

• $g_\lambda$ 与 $\sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ 的乘积结构常数完全相同。
• 线性映射 $g_\lambda \mapsto \sum_{\mu\subset\lambda}g_\mu$ 是对称函数环上的代数自同态。
• 该自同态由初等对称函数上的代换 $h_i \mapsto h_i + h_{i-1} + \dots + h_0$ 所诱导。
• 两类家族在佩里类型公式中系数相等，证实了其结构等价性。