[论文解读] On dualizable objects in monoidal bicategories, framed surfaces and the Cobordism Hypothesis

Piotr Pstrągowski|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 22

一句话总结

本文建立了单oidal双范畴和对称单oidal双范畴中可对偶化对象与完全可对偶化对象的相干性定理，引入了相干对偶对与相干完全对偶对作为与可对偶性等价的性质型结构。通过用于带框架曲面的扩展图示演算，本文提出了带框架的 bordism 双范畴，并通过证明其与由相干完全对偶对生成的自由对称单oidal双范畴等价，从而给出了二维 bordism 猜想的新证明。

ABSTRACT

We prove coherence theorems for dualizable objects in monoidal bicategories and for fully dualizable objects in symmetric monoidal bicategories, describing coherent dual pairs and coherent fully dual pairs. These are property-like structures one can attach to an object that are equivalent to the properties of dualizability and full dualizability. We extend diagrammatic calculus of surfaces of Christopher Schommer-Pries to the case of surfaces equipped with a framing. We present two equivalence relations on so obtained framed planar diagrams, one which can be used to model isotopy classes of framings on a fixed surface and one modelling diffeomorphism-isotopy classes of surfaces. We use the language of framed planar diagrams to derive a presentation of the framed bordism bicategory, completely classifying all two-dimensional framed topological field theories with arbitrary target. We then use it to show that the framed bordism bicategory is equivalent to the free symmetric monoidal bicategory on a coherent fully dual pair. In lieu of our coherence theorems, this gives a new proof of the Cobordism Hypothesis in dimension two.

研究动机与目标

• 为单oidal双范畴中可对偶化对象提供一种一致的代数刻画。
• 将 Christopher Schommer-Pries 的图示演算方法扩展至带框架的曲面。
• 给出带框架的 bordism 双范畴的完整有限呈现。
• 通过相干性与图示方法，建立二维 bordism 猜想的新证明。
• 证明带框架的 bordism 双范畴与由相干完全对偶对生成的自由对称单oidal双范畴等价。

提出的方法

• 引入相干对偶对的概念，作为单oidal双范畴中与可对偶性等价的结构。
• 发展一种用于建模带框架曲面的同伦类与微分同胚-同伦类的带框架平面图示演算。
• 在带框架的平面图示上定义两种等价关系：一种用于框架，另一种用于曲面的微分同胚-同伦。
• 利用图示演算中的生成元与关系，构造带框架的 bordism 双范畴的有限呈现。
• 应用相干性定理，将 bordism 猜想约化为两个有限呈现的对称单oidal双范畴之间的比较。
• 在双范畴的 Lack 模型结构中使用提升与推广技术，建立形状与其传输结构之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一种一致的代数结构刻画单oidal双范畴中的可对偶性？
• RQ2 用于带框架曲面的正确图示演算应如何设计，以捕捉同伦类与微分同胚-同伦类？
• RQ3 能否通过带框架平面图示演算中的生成元与关系，完全呈现带框架的 bordism 双范畴？
• RQ4 带框架的 bordism 双范畴是否与由相干完全对偶对生成的自由对称单oidal双范畴等价？
• RQ5 对称单oidal双范畴中完全对偶化对象的相干性定理是否能直接用于证明二维 bordism 猜想？

主要发现

• 从相干对偶对的双范畴到可对偶化对象群胚的遗忘同态是一个对象上的满射等价，证明了相干对偶对是与可对偶性等价的性质型结构。
• 带框架的 bordism 双范畴可通过带框架的平面图示（包含两种等价关系：一种用于框架，一种用于微分同胚-同伦）实现有限呈现。
• 带框架的 bordism 双范畴与由相干完全对偶对生成的自由对称单oidal双范畴等价，从而为二维 bordism 猜想提供了新证明。
• 在形状范畴中对等价关系与可逆 2-胞射的推广，确保了结构的唯一提升，从而支持了双范畴的有限呈现。
• 对称单oidal双范畴中完全对偶化对象的相干性定理表明，相干完全对偶对与完全对偶性等价。
• 用于带框架曲面的图示演算使得任意目标的二维带框架拓扑量子场论能够进行显式计算与分类。