[论文解读] On dynamics of semiconjugated entire functions

Dinesh Kumar|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2013

Meromorphic and Entire Functions被引用 3

一句话总结

本文研究了半共轭亚纯整函数的动力行为，建立了在有限阶与有限临界值假设下，半共轭映射保持 Fatou 集的条件，并确保复合函数导数的渐近值有界。主要贡献在于刻画了当一个函数的 Fatou 集通过半共轭被映射到另一函数的 Fatou 集时的条件，以及在复合函数中基于增长性的渐近值有界性。

ABSTRACT

Let $g$ and $h$ be transcendental entire functions and let $f$ be a continuous map of the complex plane into itself with $f\circ g=h\circ f.$ Then $g$ and $h$ are said to be semiconjugated by $f$ and $f$ is called a semiconjugacy. We consider the dynamical properties of semiconjugated transcendental entire functions $g$ and $h$ and provide several conditions under which the semiconjugacy $f$ carries Fatou set of one entire function into the Fatou set of other entire function appearing in the semiconjugation. We have also shown that under certain condition on the growth of entire functions appearing in the semiconjugation, the set of asymptotic values of the derivative of composition of the entire functions is bounded.

研究动机与目标

• 通过满足 f∘g = h∘f 的连续映射 f，分析半共轭亚纯整函数 g 和 h 的动力性质。
• 确定半共轭映射 f 将 g 的 Fatou 集映射到 h 的 Fatou 集的条件。
• 研究当 f 和 g 为有限阶且仅有有限个临界值时，复合函数 f∘g 的导数的增长性与渐近行为。
• 将已知的可交换函数与游荡域结果推广至更广泛的半共轭系统背景。

提出的方法

• 利用正规族与 Montel 的正规性准则，分析 Fatou 集分量上迭代的收敛性与正规性。
• 应用 Eremenko-Lyubich 类 B 与 f 的奇异值极限点集 E′(f)，刻画游荡域与 Julia 集的相互作用。
• 利用半共轭关系 f∘g = h∘f，将 g 的动力性质传递至 h，特别关注 Baker 域与预周期分量。
• 运用逼近论与有限阶整函数的性质，控制奇异值与渐近值的增长。
• 应用引理 2.9 证明：两个具有有界渐近值的整函数的乘积也具有有界渐近值。
• 利用定理 2.10 确认 f 与 g 的有限阶意味着 h 的有限阶，从而支持导数的有界性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 f∘g = h∘f 时，在何种条件下半共轭映射 f 将 g 的 Fatou 集映射到 h 的 Fatou 集？
• RQ2 当 f 与 g 为有限阶且仅有有限个临界值时，f∘g 的导数在何种条件下具有有界渐近值集合？
• RQ3 g 的 Fatou 集中存在 Baker 域时，能否推断出 f 将其映射到 F(h) 中？
• RQ4 在半共轭关系下，f∘g 的奇异值与渐近值如何与 f 和 g 的相应值相关？
• RQ5 可交换整函数 f 与 g 在何种条件下共享相同的 Fatou 集，其成立的范围如何？

主要发现

• 若 f 连续且开，且 f∘g = h∘f，则 f 将 g 的任意 Baker 域映射到 h 的 Fatou 集中。
• 若 f 与 g 是可交换的整函数，且在任意圆盘闭包的补集中均不取两个值，则 F(f) = F(g)。
• 当 f 与 g 为有限阶且仅有有限个临界值时，f∘g 的导数具有有界渐近值集合。
• 通过引理 2.9 可知，当 f 与 g 具有有界渐近值时，复合函数 f∘g 保持渐近值的有界性。
• f 与 g 的有限阶意味着 h 的有限阶，从而确保 h 及其导数为有限阶，支持奇异值的有界性。
• 若 (f^n) 在区域 V 上正规，且 f∘g = h∘f，则 (h^n) 在 f(V) 上正规，前提是 f(V) 不取两个值，若 f(β) ∈ J(h) 则导致矛盾。