[论文解读] On efficient weighted integration via a change of variables

Peter Kritzer, Friedrich Pillichshammer+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Mathematical Approximation and Integration参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的变量变换方法，用于在无界域（如 $\mathbb{R}^d$ 或 $\mathbb{R}_+^d$）上高效进行拟蒙特卡罗（QMC）和稀疏网格积分。与会产生边界奇点的标准逆CDF变换不同，作者设计了一种变换 $ u$，将单位立方体映射到无界域，使得变换后的被积函数属于混合光滑度为一的Sobolev空间 $W_{d,p}$，从而确保QMC和稀疏网格方法具有较小的最坏情况误差。关键贡献在于为 $ u$ 提供了一个充分条件，保证近似误差常数 $C_{d,p}( u)$ 有限，从而实现对 $p \in [1, \infty]$ 的有效积分。该方法通过数值实验验证，性能优于标准方法。

ABSTRACT

In this paper, we study the approximation of $d$-dimensional $ρ$-weighted integrals over unbounded domains $\mathbb{R}_+^d$ or $\mathbb{R}^d$ using a special change of variables, so that quasi-Monte Carlo (QMC) or sparse grid rules can be applied to the transformed integrands over the unit cube. We consider a class of integrands with bounded $L_p$ norm of mixed partial derivatives of first order, where $p\in[1,+\infty].$ The main results give sufficient conditions on the change of variables $ν$ which guarantee that the transformed integrand belongs to the standard Sobolev space of functions over the unit cube with mixed smoothness of order one. These conditions depend on $ρ$ and $p$. The proposed change of variables is in general different than the standard change based on the inverse of the cumulative distribution function. We stress that the standard change of variables leads to integrands over a cube; however, those integrands have singularities which make the application of QMC and sparse grids ineffective. Our conclusions are supported by numerical experiments.

研究动机与目标

• 解决标准逆CDF基变量变换在无界域上加权积分的QMC和稀疏网格方法中效率低下的问题。
• 识别变量变换 $\nu$ 的充分条件，使得变换后的被积函数属于混合光滑度为一的Sobolev空间 $W_{d,p}$。
• 通过有限常数 $C_{d,p}(\nu)$ 确保QMC和稀疏网格规则的最坏情况误差有界，从而实现对 $p \in [1, \infty]$ 的高效积分。
• 通过数值实验表明，所提出的变换在 $p > 1$ 时优于标准逆CDF方法。

提出的方法

• 通过变量变换 $x_j = \nu(t_j)$，将 $d$ 维无界域 $D^d$ 上的 $\varrho$-加权积分转化为单位立方体 $B^d$ 上的标准Lebesgue积分，其中 $\nu: B \to D$ 是一个可微的双射。
• 变换后的被积函数定义为 $g_{f,\nu}(\mathbf{t}) = f(\nu(t_1), \dots, \nu(t_d)) \cdot \prod_{j=1}^d \left( \varrho(\nu(t_j)) \cdot \nu'(t_j) \right)$，以保证测度不变性。
• 推导出 $\nu$ 的充分条件，以保证对所有 $f \in F_{d,p}$，有 $g_{f,\nu} \in W_{d,p}$，其中 $F_{d,p}$ 是混合一阶偏导数的 $L_p$ 范数有界的函数空间。
• 分析表明，标准逆CDF变换在 $p > 1$ 时失效，因为它在边界处产生奇点，导致 $C_{d,p}(\nu) = \infty$，而所提出的 $\nu$ 避免了此问题。
• 通过分析 $C_{d,p}(\nu)$ 在变量子集上的乘积结构，将方法扩展至无限维情形和 $\gamma$-加权空间。
• 数值实验使用文献中生成的生成向量的格规则，比较在所提出的 $\nu$ 与标准逆CDF变换下的误差衰减情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以设计一种变量变换，使得即使原始被积函数仅具有光滑度一，变换后的被积函数仍属于混合光滑度为一的Sobolev空间 $W_{d,p}$？
• RQ2 在QMC和稀疏网格方法的背景下，为何标准逆CDF基变换在 $p > 1$ 时会失效？
• RQ3 对变换 $\nu$ 的何种条件可确保诱导的误差常数 $C_{d,p}(\nu)$ 有限且较小，从而实现高效积分？
• RQ4 在实际中，所提出的变换与标准逆CDF方法相比，在收敛速率和绝对误差方面表现如何？
• RQ5 该方法能否扩展至具有 $\gamma$-权重的无限维加权积分问题？

主要发现

• 标准逆CDF基变量变换在所有 $p > 1$ 情况下均导致 $C_{d,p}(\nu) = \infty$，由于变换后被积函数在边界处产生奇点，使得QMC和稀疏网格方法失效。
• 所提出的变量变换 $\nu$ 满足充分条件，可保证对所有 $f \in F_{d,p}$，有 $g_{f,\nu} \in W_{d,p}$，从而确保 $C_{d,p}(\nu)$ 有限且较小，进而有界QMC和稀疏网格规则的最坏情况误差。
• 对于 $\mathbb{R}_+^d$ 上的测试函数 $f_d(\mathbf{x}) = \prod_{j=1}^d x_j$ 且 $\varrho(x) = e^{-x}$，当 $a = a^* \approx 2.4557$ 时，所提变换的误差衰减速度显著快于标准逆CDF（$a=1$）或次优选择（$a=1.5$）。
• 当 $d=3$ 时，$n=2^{15}$ 个点下，$a^*$ 对应的误差降至 $2.05 \times 10^{-7}$，而 $a=1$ 时为 $3.26 \times 10^{-3}$，实现约三个数量级的改进。
• 当 $d=4$ 时，$a^*$ 对应的误差在 $n=2^{15}$ 时降至 $2.60 \times 10^{-6}$，而标准方法在 $a=1$ 时误差仍高于 $3 \times 10^{-4}$，表明所提变换具有更强的鲁棒性和优越性。
• 该方法可实现无限维加权积分的高效逼近，总计算成本为 $O(\varepsilon^{-1})$ 次函数求值，即可达到误差 $\varepsilon$，如多级蒙特卡罗方法中的情境所示。