[论文解读] On electromagnetism and generalized energy-momentum tensor of the electromagnetic field in spaces with Finsler geometry

Nicoleta Voicu|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文通过在切丛 TM 上使用变分法和微分形式，将电磁学形式化于伪芬斯勒时空。引入广义电磁张量 F = dA，并基于时空平移不变性通过诺特定理推导出一个两区块的能量-动量张量 T，该张量在平坦情形下对称。主要贡献在于提出了麦克斯韦方程的几何且规范不变的表述，以及一个同时包含水平与垂直分量的能量-动量张量的守恒律。

ABSTRACT

By using variational calculus and exterior derivative formalism, we proposed in two previous joint papers with S. Siparov a new geometric approach for electromagnetism in pseudo-Finsler spaces. In the present paper, we provide more details, especially regarding generalized currents, the domain of integration and gauge invariance. Also, for flat pseudo-Finsler spaces, we define a generalized energy-momentum tensor (consisting of two blocks), as the symmetrized Noether current corresponding to the invariance of the field Lagrangian with respect to spacetime translations. In curved spaces, one of the blocks of the generalized energy-momentum tensor is obtained by varying the field Lagrangian with respect to the metric tensor and the other one, by varying the same Lagrangian with respect to the nonlinear connection.

研究动机与目标

• 开发芬斯勒几何中电磁学的几何表述，将经典麦克斯韦理论扩展至非黎曼时空。
• 利用微分形式与变分原理，在切丛 TM 上定义电磁场。
• 构建一个广义能量-动量张量，通过水平与垂直分量反映各向异性的效应。
• 建立一个同时包含时空与方向（y）依赖性的能量-动量张量守恒律。
• 为芬斯勒空间中的电磁学提供一种规范不变且几何一致的框架，作为现有模型的替代方案。

提出的方法

• 在切丛 TM 上使用变分法与外微分形式形式化，推导场方程。
• 将 4-势 A 定义为在纤维坐标 y 上齐次次数为 0 的 TM 上的水平 1-形式。
• 将电磁张量引入为 F = dA，即 TM 上的 2-形式，并将麦克斯韦方程表述为 dF = 0 和 δF = −4π/c J♭。
• 通过拉格朗日量的时空平移不变性，将广义能量-动量张量 T 作为对称化的诺特电流推导得出。
• 将张量构造为两个区块：Tij 来自对度量 gij 的变分，Ti¯j 来自对非线性联络 N 的变分。
• 将形式化应用于平坦与弯曲的芬斯勒空间，表明 T 的散度等于 −1/c(FijJj + Fi¯jJ¯j)，从而推广了守恒律。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在度量依赖于方向的芬斯勒时空下，一致地将经典电磁学扩展？
• RQ2 在芬斯勒空间中，如何利用微分形式与变分原理，对电磁场及其方程进行适当的几何表述？
• RQ3 在芬斯勒几何中，应如何广义化能量-动量张量以反映各向异性并保持守恒律？
• RQ4 电流与场的垂直（纤维）分量在 TM 上的广义麦克斯韦方程中起什么作用？
• RQ5 在这种芬斯勒几何表述中，规范不变性如何体现，且在作用量与场方程中如何保持？

主要发现

• 广义电磁张量定义为 F = dA，其中 A 是在 y 上齐次次数为 0 的 TM 上的水平 1-形式，确保了规范不变性。
• 在 TM 上的麦克斯韦方程为 dF = 0 和 δF = −4π/c J♭，其中 J 是 TM 上满足 div J = 0 恒成立的向量场。
• 在平坦芬斯勒空间中，广义能量-动量张量 T 是对称的，由两部分组成：Tijdxi⊗dxj 和 Ti¯jdxi⊗dy¯j。
• 水平部分 Tij 对应于标准能量-动量张量，但包含由各向异性引起的修正项，而垂直部分 Ti¯j 是由于方向依赖性而新出现的分量。
• 守恒律 div(T) = −1/c(FijJj + Fi¯jJ¯j) 推广了标准连续性方程，同时包含了水平与垂直电流分量的贡献。
• 在弯曲芬斯勒空间中，Tij 与 Ti¯j 分别通过作用量对度量 gij 与非线性联络 N 的独立变分获得。