[论文解读] On energy functionals and the existence of Kahler-Einstein metrics

Yanir A. Rubinstein|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2006

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

本文证明了在法诺流形上存在凯勒-爱因斯坦度量当且仅当由巴ndo、陈、丁、真中和田所引入的能量泛函在正里奇曲率的凯勒度量空间上是适当的。此外，本文还证明了这些泛函同时有下界，并将此结果应用于推广凯勒-爱因斯坦流形上的广义莫泽-特鲁迪-奥诺夫里不等式。

ABSTRACT

Abstract. We prove that the existence of a Kähler-Einstein metric on a Fano manifold is equivalent to the properness of the energy functionals defined by Bando, Chen, Ding, Mabuchi and Tian on the set of Kähler metrics with positive Ricci curvature. We also prove that these energy functionals are bounded from below on this set if and only if one of them is. As an application, we prove an extension of the generalized Moser-Trudinger-Onofri inequality on Kähler-Einstein manifolds. 1 Introduction. Our main purpose in this article is to give a new analytic characterization of Kähler-Einstein manifolds in terms of certain functionals defined on the infinite-dimensional space of Kähler forms. A necessary condition for a manifold to admit a Kähler-Einstein metric is that its first Chern class be either positive, negative or zero. Aubin and Yau proved that this condition is also sufficient in the

研究动机与目标

• 利用凯勒形式空间上的能量泛函，为凯勒-爱因斯坦度量提供一种新的分析表征。
• 建立凯勒-爱因斯坦度量的存在性与这些泛函适当性之间的等价关系。
• 证明其中一个泛函有下界可推出所有此类泛函均有下界。
• 利用泛函框架将广义莫泽-特鲁迪-奥诺夫里不等式推广到凯勒-爱因斯坦流形上。

提出的方法

• 利用巴ndo、陈、丁、真中和田在正里奇曲率凯勒度量空间上定义的能量泛函。
• 将这些泛函的适当性作为凯勒-爱因斯坦度量存在性的判别准则进行分析。
• 应用变分法与几何分析，将泛函行为与曲率条件联系起来。
• 通过泛函分析技术，建立泛函适当性与凯勒-爱因斯坦度量存在性之间的等价关系。
• 利用能量泛函的有下界性推导几何不等式。
• 将结果应用于在凯勒-爱因斯坦流形背景下推广莫泽-特鲁迪-奥诺夫里不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在法诺流形上，凯勒-爱因斯坦度量的存在性是否等价于巴ndo、陈、丁、真中和田在正里奇曲率凯勒度量空间上定义的能量泛函的适当性？
• RQ2 在正里奇曲率凯勒度量空间上，这些能量泛函是否同时有下界？
• RQ3 能否利用能量泛函的泛函框架将广义莫泽-特鲁迪-奥诺夫里不等式推广到凯勒-爱因斯坦流形上？
• RQ4 能量泛函的适当性与法诺流形上典型度量的存在性之间存在何种关系？

主要发现

• 在法诺流形上，凯勒-爱因斯坦度量的存在性当且仅当由巴ndo、陈、丁、真中和田在正里奇曲率凯勒度量空间上定义的能量泛函是适当的。
• 所有此类能量泛函同时有下界，当且仅当其中一个有下界。
• 该泛函框架为凯勒-爱因斯坦度量的存在性提供了一种新的分析准则。
• 本研究结果导致了凯勒-爱因斯坦流形上广义莫泽-特鲁迪-奥诺夫里不等式的推广。
• 泛函适当性与凯勒-爱因斯坦度量存在性之间的等价性为该存在性问题提供了变分方法。