[论文解读] On Energy of the Friedman Universes in Conformally Flat Coordinates

Janusz Garecki|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过在共形平坦坐标系中使用爱因斯坦的规范能量-动量复数量，挑战了弗里德曼宇宙能量为零的普遍观点，证明了平坦和闭合的弗里德曼宇宙具有非零的全局能量。分析表明，先前得出零能量的结论源于在非渐近平坦时空下使用了物理上不合适的笛卡尔共动坐标系，且能量依赖于观察者的选取，从而否定了能量为零的假设。

ABSTRACT

Recently many authors have calculated the energy of the Friedman universes by using double index energy-momentum complexes in Cartesian comoving coordinates $(t,x,y,z)$ and concluded that the flat and closed Friedman universes are energy-free. We show in this paper by using Einstein canonical energy-momentum complex and by doing calculations in conformally flat coordinates that such conclusion is incorrect. The results obtained in this paper are compatible with the results of the our previous paper \cite{Gar07} where we have used coordinate-independent averaged relative energy-momentum tensors to analyze Friedman universes.

研究动机与目标

• 使用物理上合适的坐标系——共形平坦坐标系，而非笛卡尔共动坐标系，重新表达弗里德曼宇宙的能量。
• 挑战在共动参考系中计算得出的、广泛接受的平坦和闭合弗里德曼宇宙能量为零的结论。
• 证明能量-动量复数量只有在应用于共形平坦等几何和物理上具有区分性的坐标系时，才能产生物理上有意义的结果。
• 表明观察者的选择（共动与非共动）显著影响计算出的能量，从而否定了能量为零的普遍性主张。

提出的方法

• 本文采用爱因斯坦的规范能量-动量复数量，在共形平坦坐标系 $(\tau, x, y, z)$ 中计算弗里德曼宇宙的能量，该坐标系对共形平坦时空具有几何优越性。
• 使用共形平坦形式的度规：$ ds^2 = \Omega^2(\tau,x,y,z)(d\tau^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2) $，其中 $\Omega$ 为共形因子。
• 能量积分在空间片 $\tau = \text{const}$ 上进行，特别关注共形平坦坐标图的有限区域。
• 分析比较了共动观察者（在形式极限 $A \to \infty$ 下得出 $E=0$）与非共动观察者（得出正定能量）的结果。
• 明确计算了闭合的充满尘埃的弗里德曼宇宙的能量，显示对于具有恒定速度 $v$ 的非共动观察者，有 $ E = \frac{16\pi^2\alpha a_0^2 v^2}{1 - v^2} > 0 $。
• 本文认为，当 $A \to \infty$ 时出现的奇点使该形式极限无效，因此 $E=0$ 的结果是物理上不成立的。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何先前的研究得出弗里德曼宇宙能量为零的结论？其方法论中的缺陷是什么？
• RQ2 弗里德曼宇宙的能量是否真的为零，还是这仅仅是使用笛卡尔共动坐标系时产生的坐标依赖性伪影？
• RQ3 观察者的选择（共动与非共动）如何影响弗里德曼宇宙中计算出的能量？
• RQ4 在非渐近平坦时空（如弗里德曼宇宙）中，坐标依赖的能量-动量复数量能否产生物理上有意义的结果？
• RQ5 共形平坦坐标在确保宇宙时空能量计算的物理一致性方面起什么作用？

主要发现

• 当使用非共动观察者在共形平坦坐标系中计算时，闭合的充满尘埃的弗里德曼宇宙的能量是非零的，对于任意 $ v > 0 $，包括无穷小的 $ v $，均有 $ E = \frac{16\pi^2\alpha a_0^2 v^2}{1 - v^2} > 0 $。
• 广泛引用的闭合和平坦弗里德曼宇宙能量为零的结果，源于一个不物理的极限过程 $ A \to \infty $，该过程导致共形因子趋于零并引发时空奇点。
• 在非渐近平坦时空的能量计算中，使用笛卡尔共动坐标系在物理上是站不住脚的，因为这些坐标无法保持共形结构的几何与物理区分性。
• 在此框架中，能量是观察者依赖的：共动观察者在极限下得出 $ E=0 $，但非共动观察者得出正的有限能量，表明能量含量并非为零。
• 结果与作者先前使用坐标无关的平均能量-动量张量的研究一致，进一步支持了弗里德曼宇宙并非能量为零的结论。
• 本文得出结论：共形平坦坐标是共形平坦时空能量-动量分析的物理优选参考系，而先前关于能量为零的结论因坐标和观察者选择不当而无效。