[论文解读] On entropy stable temporal fluxes

Ayoub Gouasmi, Karthik Duraisamy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过推导时间界面的熵守恒与熵稳定数值通量，将熵稳定性扩展至时空不连续伽辽金格式的时间维度，其方法与空间通量类似。证明了时间方向的迎风格式本质上是熵稳定的，可分解为熵守恒通量与正定耗散项之和，为高阶湍流模拟提供了改进稳定性的基础。

ABSTRACT

Entropy-stable (ES) schemes have gained considerable attention over the last decade, especially in the context of turbulent flow simulations using high-order methods. While promising because of their nonlinear stability properties, ES schemes have to address a number of issues to become practical. One of them is how much entropy should be produced by the scheme at a certain level of under-resolution. This problem has been so far studied by considering different ES interfaces fluxes in the spatial discretization only because they can be tuned to generate a certain amount of entropy. In this note, we point out that, in the context of space-time discretizations, the same applies to ES interface fluxes in the temporal direction.

研究动机与目标

• 解决高阶湍流模拟时间离散化中熵稳定性分析的缺失问题。
• 研究时间方向的熵产生是否能减少在解析不足模拟中对空间耗散的需求。
• 基于与空间通量相同的框架，为双曲守恒律构造熵守恒与熵稳定的时间通量。
• 通过将迎风格式分解为熵守恒通量与正定耗散项，证明时间迎风格式本质上是熵稳定的。
• 探讨在大涡模拟与亚格子模型背景下，时空DG格式中因果性与熵稳定性之间的权衡。

提出的方法

• 通过将时间视为类似于空间的坐标，将Tadmor的熵稳定性框架适配至时间方向。
• 通过在熵变量空间中沿直线路径对时间通量雅可比矩阵积分，推导出熵守恒的时间通量。
• 引入形式为 $ T^{n+rac{1}{2}} \Delta v^{n+rac{1}{2}} $ 的耗散项，其中 $ T^{n+rac{1}{2}} $ 为对称正定矩阵，以实现时间方向的熵稳定性。
• 证明时间迎风格式（$ u^{n+rac{1}{2}} = u^n $）等价于一个熵守恒通量加上一个正定耗散矩阵。
• 利用通量的黏性形式，将迎风格式重写为熵守恒通量与耗散项的组合，其中耗散矩阵由时间雅可比矩阵的积分导出。
• 证明时间雅可比矩阵 $ H(v) $ 为正定，确保在跃迁时产生熵，并表明所得耗散项可作为时间隐式亚格子尺度模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在时空不连续伽辽金格式中，为时间方向构造出类似于空间通量的熵稳定通量？
• RQ2 在解析不足的湍流模拟中，时间方向的熵产生在多大程度上能减少对空间耗散的需求？
• RQ3 时间迎风格式是否本质上是熵稳定的？如果是，如何将其分解为熵守恒与耗散分量？
• RQ4 在时间层之间引入非因果熵守恒时间通量时，对时间层间耦合与计算成本有何影响？
• RQ5 在大涡模拟与亚格子尺度建模背景下，时间熵稳定性与空间熵稳定性如何相互作用？

主要发现

• 通过在熵变量空间中沿直线路径对时间通量雅可比矩阵积分，可推导出熵守恒的时间通量，其方法与空间情况类似。
• 通过添加形式为 $ T^{n+rac{1}{2}} \Delta v^{n+rac{1}{2}} $ 的耗散项，其中 $ T^{n+rac{1}{2}} $ 为对称正定矩阵，可实现熵稳定的时间通量，确保熵产生非负。
• 通过将迎风格式表示为熵守恒通量与正定耗散项之和，证明了时间迎风格式本质上是熵稳定的，且耗散矩阵由时间雅可比矩阵的积分导出。
• 在迎风通量分解中，耗散项被证明为对称正定，从而确认了时间迎风格式的熵稳定性。
• 时间耗散项可解释为一种时间隐式亚格子尺度模型，暗示其与空间亚格子尺度建模存在物理类比。
• 可选择性地在时间界面使用非因果熵守恒时间通量，以支持块隐式时间积分，代价为增加内存占用与算术强度，同时保持熵稳定性。