[论文解读] On enumeration in classical invariant theory

Bruce W. Westbury|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种公式，用于计算在半单群作用下张量幂表示的不变子空间的弗罗贝尼乌斯特征，该方法结合了富比尼积（plethysm）与对称函数理论。核心结果将多项式函子 $ P(V) $ 的不变特征表示为原始表示 $ V $ 的不变特征的函数，从而通过组合对称函数技术实现经典不变量理论中不变量的计数。

ABSTRACT

In this paper we study the Frobenius characters of the invariant subspaces of the tensor powers of a representation V. The main result is a formula for these characters for a polynomial functor of V involving the characters for V. The main application is to representations V for which these characters are known. The best understood case is for V the vector representation of a symplectic group or special linear group. Other cases where there are some related results are the defining representations of the symmetric groups and the adjoint representations of the general linear groups. This formula uses methods of enumerative combinatorics and in particular is similar to the cycle index series of regular graphs.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于计算表示的张量幂中 $ G $-不变子空间的弗罗贝尼乌斯特征。
• 将多项式函子作用于表示 $ V $ 时的不变特征，表示为 $ V $ 本身不变特征的函数。
• 提供一个组合框架，利用对称函数与富比尼积对不变量进行计数。
• 扩展经典不变量理论中关于不变环的希尔伯特级数与维数的已知结果。

提出的方法

• 本文利用多项式函子及其相关舒尔函子的理论，将对称群的表示与张量不变量联系起来。
• 通过富比尼积与对称函数的内积，构造不变子空间弗罗贝尼乌斯特征的生成函数。
• 主要公式通过柯西恒等式与特征理论推导得出，通过表达式 $ \left\langle h_r[X \cdot \mathbf{ch}P[Y]], I_{rk}(V)[Y] \right\rangle_Y $ 将 $ I_r(P(V)) $ 与 $ I_{rk}(V) $ 关联起来。
• 该方法借助循环指标生成函数与枚举组合学，类比于计数正则图与牌局分配问题。
• 利用特征公式 $ \mathbf{ch}P = \frac{1}{r!} \sum_{\pi \in \mathfrak{S}_r} \operatorname{Tr}(\rho(\pi)) p_{\lambda(\pi)} $ 计算多项式函子的特征。
• 通过 $ \mathrm{SL}(n) $、$ \mathrm{Sp}(2n) $、对称群及 $ \mathrm{GL}(n) $ 等已知例子验证了该框架，结果与已有结论一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算多项式函子 $ P $ 作用下 $ \otimes^r P(V) $ 的 $ G $-不变子空间的弗罗贝尼乌斯特征？
• RQ2 多项式函子 $ P(V) $ 的不变量与原始表示 $ V $ 的不变量之间存在何种关系？
• RQ3 能否用对称函数与 $ V $ 的已知不变量来表达 $ P(V) $ 的不变环的希尔伯特级数？
• RQ4 富比尼积与对称函数理论在多大程度上可用于经典不变量理论中不变量的计数？

主要发现

• 在 $ G $-不变子空间 $ \otimes^r P(V) $ 上的弗罗贝尼乌斯特征为 $ \left\langle h_r[X \cdot \mathbf{ch}P[Y]], I_{rk}(V)[Y] \right\rangle_Y $，其中 $ I_{rk}(V) $ 是 $ \otimes^{rk}V $ 的不变特征。
• 当 $ V $ 是 $ \mathrm{SL}(n) $ 的定义表示时，若 $ r = mn $，则 $ I_r(V) = s_{m^n} $，否则为 0。
• 当 $ V $ 是 $ \mathrm{Sp}(2n) $ 的定义表示时，$ I_r(V) = \sum_{\lambda \vdash 2r, \text{偶数列}, \ell(\lambda) \leq 2n} s_\lambda $。
• 当 $ V $ 是 $ \mathrm{GL}(n) $ 的伴随表示时，$ I_r(V) = \sum_{\lambda \vdash r} s_\lambda * s_\lambda $，其中 $ * $ 表示内积。
• 在 $ P(V) $ 上齐次度为 $ r $ 的不变量空间的维数为 $ \left\langle h_r[\mathbf{ch}P], I_{rk}(V) \right\rangle $。
• 在 $ n $ 个顶点上 $ k $-正则图的数量为 $ \left\langle h_n[h_k], h_{nk/2}[h_2] \right\rangle $，展示了该公式的枚举能力。