[论文解读] On Equitable Coloring Parameters of Certain Cycle Related Graphs

K. P. Chithra, E. A. Shiny+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Graph theory and applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入并计算了几类与环相关的图——包括轮图、花图、向日葵图、闭向日葵图和 blossom 图——的公平顶点着色的均值与方差这一统计参数。文中推导出这些参数的闭式表达式，展示了其对图结构及环大小奇偶性的依赖关系。

ABSTRACT

Coloring the vertices of a graph G subject to given conditions can be considered as a random experiment and corresponding to this experiment, a discrete random variable X can be defined as the colour of a vertex chosen at random, with respect to the given type of colouring of G and a probability mass function for this random variable can be defined accordingly. A proper coloring C of a graph G, which assigns colors to the vertices of G such that the numbers of vertices in any two colour classes differ by at most one, is called an equitable colouring of G. In this paper, we study two statistical parameters of certain cycle related graphs, with respect to their equitable colorings.

研究动机与目标

• 将统计参数——均值与方差——拓展至公平图着色领域。
• 分析特定与环相关的图族（包括轮图、花图、向日葵图、闭向日葵图和 blossom 图）的公平着色参数。
• 以图的阶数与结构对称性为依据，建立公平着色均值与方差的闭式表达式。
• 探讨这些参数在资源分配与网络优化等实际领域中的适用性。
• 为未来在其他图类与着色类型中研究公平着色参数奠定基础。

提出的方法

• 定义一个随机变量 X，表示在公平着色下随机选取顶点的颜色索引。
• 推导其概率质量函数（p.m.f.）f(i) = θ(c_i)/|V(G)|，其中 θ(c_i) 表示颜色类 i 的大小。
• 将公平着色均值 μ_χₑ(G) 计算为 X 的期望值：μ_χₑ(G) = Σ i·f(i)。
• 将公平着色方差 σ²_χₑ(G) 计算为 X 的方差：σ²_χₑ(G) = Σ i²·f(i) − (Σ i·f(i))²。
• 通过利用结构对称性与公平着色约束，将上述定义应用于特定的与环相关的图。
• 通过分析 W_n、F_n、SF_n、CSF_n 和 Bl_n 等图中的颜色类分布，推导出 μ_χₑ 与 σ²_χₑ(G) 的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 轮图 W_n 的公平着色均值与方差是什么？其值如何随 n 的奇偶性变化？
• RQ2 花图 F_n 的公平着色参数表现如何？哪些结构特征影响其取值？
• RQ3 向日葵图 SF_n 及其变体（CSF_n 与 Bl_n）的公平着色均值与方差是什么？其值如何依赖于 n？
• RQ4 能否为具有对称颜色类分布的与环相关的图推导出公平着色参数的闭式表达式？
• RQ5 公平着色的统计参数与图的阶数、最大度等图参数之间有何关系？

主要发现

• 对于轮图 W_n，当 n 为偶数时，公平着色均值为 μ_χₑ(W_n) = (n+2)²/(4(n+1))；当 n 为奇数时，为 (n²+4n+7)/(4(n+1))。
• W_n 的公平着色方差为：当 n 为偶数时，σ²_χₑ(W_n) = n(n+2)(n²+2n+4)/(48(n+1)²)；当 n 为奇数时，为 (n⁴+4n³+26n²−44n−27)/(48(n+1)²)。
• 对于花图 F_n，公平着色均值为 μ_χₑ(F_n) = (n+1)²/(2n+1)，方差为 σ²_χₑ(F_n) = (n⁴+2n³+2n²+n)/(3(2n+1)²)。
• 对于向日葵图 SF_n 与闭向日葵图 CSF_n，公平着色均值为 μ_χₑ = (5n+1)/(2n+1)，方差依 n 的奇偶性而异：当 n 为偶数时，为 (5n²+7n)/(2n+1)²；当 n 为奇数时，为 (5n²+3n−2)/(2n+1)²。
• 对于 blossom 图 Bl_n，公平着色均值为 μ_χₑ(Bl_n) = (n+1)²/(2n+1)，方差为 σ²_χₑ(Bl_n) = (n⁴+2n³+2n²+n)/(3(2n+1)²)。
• 推导出的公式表明，公平着色参数对图的对称性及环大小的奇偶性敏感，偶数与奇数情形具有不同的表达式。