[论文解读] On equivariant versions of higher order orbifold Euler characteristics

S. M. Gusein‐Zade, I. Luengo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文引入了取值于有限群Burnside环的等变高阶轨道 Euler 特征，统一了两种方法：一种基于Burnside环的群作用不变量，另一种基于固定点数据的轨道不变量。文章建立了这些不变量及其动机化推广的Macdonald型生成系列，使用具有Lefschetz类有理幂的等变Grothendieck环上的幂结构，将已知结果推广至具有交换群作用的等变设置。

ABSTRACT

There are (at least) two different approaches to define equivariant analogue of the Euler charateristic for a space with a finite group action. The first one defines it as an element of the Burnside ring of the group. The second approach emerged from physics and includes the orbifold Euler characteristic and its higher order versions. Here we suggest a way to merge the two approaches together defining (in a certain setting) higher order Euler characteristics with values in the Burnside ring of a group. We give Macdonald type equations for these invariants. We also offer generalized ("motivic") versions of these invariants and formulate Macdonald type equations for them as well.

研究动机与目标

• 统一两种不同的等变Euler特征方法：一种基于有限群的Burnside环，另一种基于轨道理论和高阶不变量。
• 在两个交换有限群作用的设定下，定义取值于Burnside环的高阶轨道Euler特征。
• 为这些新不变量制定Macdonald型方程，推广已知的轨道和等变Euler特征结果。
• 通过在具有Lefschetz类有理幂的等变Grothendieck环中引入构造，将该构造推广至广义（“动机化”）版本。
• 建立基于幂结构的生成系列，以原始不变量的形式编码对称幂不变量，并在第二个群作用下保持等变性。

提出的方法

• 通过结合一个群（轨道方法）的固定点数据和另一个群（Burnside环方法）的等变不变量，定义取值于Burnside环的高阶轨道Euler特征。
• 在光滑拟射影簇 $X$ 上使用两个交换有限群 $G_O$ 和 $G_B$ 的作用，其中 $G_O$ 以轨道型固定点方式作用，$G_B$ 作为全局对称性作用。
• 通过迭代同态 $ ho: bZ^k o G_O$ 的固定点集递归构造第 $k$ 阶不变量，权重为有理数平移 $ ho_i$ 和年龄不变量 $F^ ho_{ ext{shift}}$。
• 使用修改后的Grothendieck环 $K_0^{G_B}(\mathrm{Var}_{\mathbb{C}})[\mathbb{L}^s]_{s \in \mathbb{Q}}$ 上的幂结构，表达关于Wreath积群 $(G_O)_n \times G_B$ 的对称幂 $X^n$ 的生成系列。
• 通过将生成系列表示为 $G_O$ 中 $k$ 个交换元素的共轭类上的求和的指数形式，推导出Macdonald型公式，权重为包含 $ ho_i$ 和 $X$ 的维数 $d$ 的有理函数。
• 通过引入Lefschetz类 $\mathbb{L}$ 的有理指数，将构造推广至动机不变量，以反映轨道设置中的年龄偏移。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义取值于有限群Burnside环的高阶轨道Euler特征，以统一轨道方法和等变方法？
• RQ2 当不变量取值于Burnside环时，具有两个交换有限群作用的代数簇的对称幂的生成系列具有何种结构？
• RQ3 Macdonald型方程能否被推广至高阶轨道Euler特征的等变和动机化版本？
• RQ4 在存在交换群作用的情况下，年龄不变量和有理权重如何影响生成系列？
• RQ5 在等变Grothendieck环上基于幂结构的生成系列在公式化中起什么作用？

主要发现

• 本文构造了一个新不变量 $[X;G_O,G_B]^{k,G_B}_{\underline{\varphi}}$ 在 $K_0^{G_B}(\mathrm{Var}_{\mathbb{C}})[\mathbb{L}^s]_{s \in \mathbb{Q}}$ 中，该不变量同时推广了等变Euler特征和高阶轨道Euler特征。
• 建立了Macdonald型生成系列：$\sum_{n \geq 0} [X^n; (G_O)_n, G_B]^{k,G_B}_{\underline{\varphi}} t^n = \left( \prod_{r_1,\dots,r_k \geq 1} (1 - \mathbb{L}^{\Phi_k(\underline{r})d/2} t^{r_1\cdots r_k})^{r_2 r_3^2 \cdots r_k^{k-1}} \right)^{-[X;G_O,G_B]^{k,G_B}_{\underline{\varphi}}}$，其中 $\Phi_k(\underline{r}) = \sum_{i=1}^k \varphi_i r_1 \cdots r_{i-1} (r_i - 1)$。
• 该生成系列使用具有Lefschetz类有理幂的等变Grothendieck环上的幂结构表达，推广了经典的Macdonald恒等式。
• 该构造与 $G_B$ 的作用相容，所有对称幂 $X^n$ 均继承自然的 $G_B$-作用，保持不变量的等变性。
• 动机化推广引入了 $\mathbb{L}$ 的有理指数，以反映轨道设置中的年龄偏移 $F^\rho_{\alpha_\rho}$，且该公式在环 $K_0^{G_B}(\mathrm{Var}_{\mathbb{C}})[\mathbb{L}^s]_{s \in \mathbb{Q}}$ 中成立。
• 该证明通过引入额外的全局 $G_B$-作用，将 [17] 和 [19] 中已知结果扩展至等变情形，表明幂结构形式化在等变设置下依然有效。