[论文解读] On ergodic states, spontaneous symmetry breaking and the Bogoliubov quasi-averages

Walter F. Wreszinski, Valentin A. Zagrebnov|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文证明了 Bogoliubov 虚均值在量子自旋系统和多体玻色子系统中，能从热（Gibbs）态的遍历分解中选择出纯态或遍历态。通过证明仅通过虚均值定义的物理量才是物理上可靠的，特别是具有非对角长程序（ODLRO）的系统，该研究解决了玻色-爱斯坦凝聚（BEC）与虚均值自发对称性破缺之间的等价性。

ABSTRACT

It is shown that Bogoliubov quasi-averages select the pure or ergodic states in the ergodic decomposition of the thermal (Gibbs) state. Our examples include quantum spin systems and many-body boson systems. As a consequence, we elucidate the problem of equivalence between Bose-Einstein condensation and the quasi-average spontaneous symmetry breaking (SSB) discussed for continuous boson systems. The multi-mode extended van den Berg-Lewis-Pulé condensation of type III demonstrates that the only physically reliable quantities are those that defined by Bogoliubov quasi-averages.

研究动机与目标

• 阐明 Bogoliubov 虚均值方法在量子多体系统中的物理意义及其普遍适用性。
• 解决在连续玻色子系统中玻色-爱斯坦凝聚（BEC）与自发对称性破缺（SSB）之间长期存在的等价性问题。
• 证明仅通过虚均值定义的可观测量才是物理上可靠的，特别是在具有非对角长程序（ODLRO）的系统中。
• 表明虚均值方法在热态的遍历分解中选择出极值（遍历）态，从而提供一种物理上一致的选取机制。
• 扩展对量子自旋系统和连续玻色子系统中 SSB 的理解，特别是在广义 BEC 和 ODLRO 的背景下。

提出的方法

• 作者采用 $W^*$-代数和正规态的框架来描述量子系统中的热平衡态，特别关注有限和无限体积下的 Gibbs 态。
• 通过引入对称性破缺场 $H_\Lambda + \lambda B_\Lambda$ 应用 Bogoliubov 虚均值方法，取热力学极限 $\Lambda \nearrow \mathbb{Z}^d$ 或 $\Lambda \nearrow \mathbb{R}^d$，然后取 $\lambda \to 0^+$ 的极限。
• 对于量子自旋系统，对称性破缺场与哈密顿量对易，导致可观测的磁化序参量。
• 对于连续玻色子系统，对称性破缺场不与哈密顿量对易，序参量涉及相位，该相位可通过干涉实验变得可观测。
• 本文依赖于 Fannes-Pul\'e-Verbeure 定理及其在非零动量下的推广，表明 ODLRO 意味着存在一族遍历的、非规范不变的态。
• 热态的遍历分解被证明为 $\omega_{\beta,\mu} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} d\phi \, \omega_{\beta,\mu,\phi}$，其中每个 $\omega_{\beta,\mu,\phi}$ 是由虚均值选出的极值态。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bogoliubov 虚均值方法是否在热态分解中一致地选择出物理上相关的遍历态？
• RQ2 当 BEC 和 SSB 均通过单模虚均值定义时，二者之间是否存在根本等价性？
• RQ3 为何在具有非对角长程序的系统中，仅通过虚均值定义的物理量才是物理上可靠的？
• RQ4 虚均值方法在量子自旋系统与连续玻色子系统中的物理诠释与数学结构有何不同？
• RQ5 虚均值方法是否可普遍应用于解释离散与连续量子系统中的自发对称性破缺？

主要发现

• Bogoliubov 虚均值方法在热态的遍历分解中选择出纯态或遍历态，提供了物理上一致的选取机制。
• 在量子自旋系统中，虚均值导致可观测的磁化序参量，所得到的态仅在原对称群的子群下不变，且为极值态。
• 在连续玻色子系统中，序参量涉及相位，该相位不能直接测量，但可通过两个凝聚态之间的干涉变得可观测，实验已证实此现象。
• 本文确立了在广义玻色-爱斯坦凝聚（按 van den Berg-Lewis-Pul\'e 的定义）中，唯一物理上可靠的物理量是通过虚均值定义的，从而解决了长期存在的模糊性。
• 热态的遍历分解被显式构造为对相位旋转态 $\omega_{\beta,\mu,\phi}$ 的积分，每一类对应一个独立的纯相位。
• 该方法被证明在不同系统中具有普遍适用性，包括相互作用玻色气体，在 $\lambda \neq 0$ 时化学势在热力学极限下仍保持为负。