[论文解读] On existence and approximation of solution of nonlinear Hilfer fractional differential equation

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文通过一种新颖的皮卡迭代方案，建立了具有奇异非线性项的一类希尔弗分数阶微分方程解的存在性与唯一性。通过放宽对非线性函数的条件限制，并证明迭代逼近的一致收敛性，作者提供了一种计算上可行的方法，即使在函数在初始点处奇异时也能近似求解。

ABSTRACT

This paper gives the existence and uniqueness results for solution of fractional differential equations with Hilfer derivative. Using some new techniques and generalizing the restrictive conditions imposed on considered function, the iterative scheme for uniformly approximating the solution is established.

研究动机与目标

• 建立具有奇异非线性项的非线性希尔弗分数阶微分方程解的存在性与唯一性。
• 开发一种可计算的迭代方案，能够一致逼近解，克服不动点方法的局限性。
• 放宽对非线性函数 f 的限制性条件，特别是避免对单调性的假设。
• 提供一种适用于涉及奇异分数阶模型的实际问题的实用近似方法。
• 通过应用于迭代序列的收敛性准则，确定解的最大存在区间。

提出的方法

• 使用希尔弗分数阶导数，该导数广义化了黎曼-刘维尔和卡波托导数，以描述复杂动力学。
• 应用改进的皮卡迭代技术，构造一个函数序列，该序列一致收敛于解。
• 通过令 $ x(t) = (t-a)^{\gamma-1} \phi(t) $，其中 $ \gamma = \alpha + \beta(1-\alpha) $，对原方程进行变换，以处理奇异性。
• 对 $ f(t, (t-a)^{\gamma-1}x(t)) $ 施加利普希茨型条件，以确保迭代序列的收敛性。
• 在积分估计中使用贝塔函数和伽马函数，以界定连续迭代之间的差异。
• 使用比值判别法和收敛性准则，证明序列 $ \phi_n(t) $ 在 $ (a, a+l] $ 上的一致收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，奇异非线性希尔弗分数阶微分方程存在唯一解？
• RQ2 能否构造一种无需非线性项单调性假设的、一致收敛的迭代方案来逼近解？
• RQ3 在奇异分数阶方程的背景下，所提出的迭代方法与不动点方法相比，在适用性和效率方面有何差异？
• RQ4 解存在的最大区间 $ (a, a+l] $ 是什么？
• RQ5 在迭代构造中，如何有效处理涉及极限 $ \lim_{t\to a^+} (t-a)^{1-\gamma}x(t) = x_0 $ 的初始条件？

主要发现

• 解在最大区间 $ (a, a+l] $ 上存在且唯一，其中 $ l $ 由收敛性准则确定。
• 迭代序列 $ \phi_n(t) $ 一致收敛于解 $ \phi(t) = (t-a)^{\gamma-1} \lim_{n\to\infty} (t-a)^{1-\gamma} \phi_n(t) $。
• 通过应用于包含贝塔和伽马函数的界上的比值判别法，证明了收敛性。
• 对于 $ \alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{1}{2}, x_0 = 3 $ 的例子，解存在于 $ (0, l] $ 上，且 $ l \approx 0.4 $。
• 该方法避免了如 $ f $ 的单调性等限制性假设，推广了先前的结果。
• 该迭代方案在计算上是可行的，并提供了一种即使当 $ f $ 在 $ t = a $ 处奇异时也能近似求解的实用方法。