[论文解读] On existence and uniqueness for non-autonomous parabolic Cauchy problems with rough coefficients

Pascal Auscher, Sylvie Monniaux+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用 3

一句话总结

本论文通过受 Kenig-Pipher 启发的新型抛物型极大函数技术以及 tent 空间中的极大正则性，建立了在 $L^p$ 空间中 $1 \leq p \leq \infty$ 的非自治抛物柯西问题在粗糙、有界可测系数下的存在性与唯一性。该研究证明了在任意 $L^p$ 初始数据下，唯一性成立于类 $L^\infty(0,T; L^p(\mathbb{R}^n))$ 中，即使对于复系数或系统型系数也成立，无需依赖经典最大值原理，并将先前结果推广至更广的系数类，包括 $p < 2$ 的情形，前提是系数矩阵在时间上具有有界变差。

ABSTRACT

We consider existence and uniqueness issues for the initial value problem of parabolic equations $\partial_{t} u = { m div} A abla u$ on the upper half space, with initial data in $L^p$ spaces. The coefficient matrix $A$ is assumed to be uniformly elliptic, but merely bounded measurable in space and time. For real coefficients and a single equation, this is an old topic for which a comprehensive theory is available, culminating in the work of Aronson. Much less is understood for complex coefficients or systems of equations except for the work of Lions, mainly because of the failure of maximum principles. In this paper, we come back to this topic with new methods that do not rely on maximum principles. This allows us to treat systems in this generality when $p\geq 2$, or under certain assumptions such as bounded variation in the time variable (a much weaker assumption that the usual Hölder continuity assumption) when $p< 2$. We reobtain results for real coefficients, and also complement them. For instance, we obtain uniqueness for arbitrary $L^p$ data, $1\leq p \leq \infty$, in the class $L^\infty(0,T; L^p({\mathbb{R}}^n))$. Our approach to the existence problem relies on a careful construction of propagators for an appropriate energy space, encompassing previous constructions. Our approach to the uniqueness problem, the most novel aspect here, relies on a parabolic version of the Kenig-Pipher maximal function, used in the context of elliptic equations on non-smooth domains. We also prove comparison estimates involving conical square functions of Lusin type and prove some Fatou type results about non-tangential convergence of solutions. Recent results on maximal regularity operators in tent spaces that do not require pointwise heat kernel bounds are key tools in this study.

研究动机与目标

• 解决非自治抛物柯西问题中粗糙系数的长期悬而未决问题，特别是当最大值原理失效时的复系数或系统型系数情形。
• 在系数矩阵 $A$ 的正则性要求最小的条件下，建立 $L^p$ 空间中 $1 \leq p \leq \infty$ 的适定性，包括 $p < 2$ 的情形。
• 提出一种新方法以证明唯一性，避免依赖局部正则性或点态热核估计，采用抛物型版本的 Kenig-Pipher 极大函数。
• 统一并扩展先前关于能量解与传播算子的研究成果，特别是针对系统与 $p \geq 2$ 的情形，同时为 $p < 2$ 提供新的估计。

提出的方法

• 引入抛物型版本的 Kenig-Pipher 极大函数，以控制非切向极大函数，并在不使用最大值原理的情况下证明唯一性。
• 在能量空间 $\dot{W}(0,\infty)$ 中构造传播算子，推广早期构造方法，从而为基于 $L^2$ 的解提供先验估计。
• 利用近期在 tent 空间中关于极大正则性的结果，无需点态热核估计，从而在 $A$ 的假设最弱的条件下实现分析。
• 建立传播算子的反向 Hölder 估计与核界，通过 $L^p$-有界性将它们与平方函数和极大函数联系起来。
• 应用 Fatou 型结果，研究解的非切向收敛性，利用 $C_0(\mathbb{R}^n)$ 与 $M(\mathbb{R}^n)$ 中的对偶性与逼近技术。
• 通过时间截断与截断极大函数实现局部化估计，从而控制 $L^p$ 范数与基于 $L^p$ 的平方函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非自治抛物系统中，对 $p < 2$ 的 $L^p$ 初始数据建立唯一性？
• RQ2 是否可能在不依赖最大值原理或解的点态正则性条件下，证明存在性与唯一性？
• RQ3 如何将 Kenig-Pipher 极大函数适配到抛物设置中，以控制非切向极大函数？
• RQ4 在缺乏点态热核估计的条件下，tent 空间极大正则性起到何种作用？
• RQ5 在系数矩阵具有时间有界变差的条件下，能否实现 $p \geq 2$ 与 $p < 2$ 的 $L^p$ 适定性？

主要发现

• 唯一性对任意 $L^p$ 初始数据 $1 \leq p \leq \infty$ 成立，且属于类 $L^\infty(0,T; L^p(\mathbb{R}^n))$，解决了 Aronson 留下的一个开放问题。
• 对于 $p \geq 2$，在一致强椭圆性与 $A$ 有界可测的条件下，系统型复系数的适定性得以建立。
• 对于 $p < 2$，唯一性在较弱假设下成立：即 $A$ 具有时间有界变差 $\text{BV}(0,T; L^\infty)$，而非霍尔德连续性。
• 本文证明：在 $1 \leq p < \infty$ 时，非切向极大函数在 $L^p$ 中受锥形平方函数控制，且在 $p \in [1,2)$ 时反之亦然。
• 证明了一个 Fatou 型结果：若 $u$ 是 $L^\infty(L^1)$ 中的全局弱解，则极限 $\lim_{t \to 0^+} u(t, \cdot)$ 在 $M(\mathbb{R}^n)$ 中的弱-* 意义下存在，且等于初始测度 $\mu$。
• 对于 $L^1$ 初始数据，解 $u$ 满足 $u \in C_0((0,\infty), L^1)$，且当 $t \to 0^+$ 时弱-* 收敛于 $\mu$，且 $u(t, \cdot) = \Gamma(t,0)\mu$。