[论文解读] On Existence and Uniqueness of Second Order Fully Nonlinear PDEs with Caputo time fractional derivatives

Tokinaga Namba|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用 2

一句话总结

本文建立了具有小于一阶的Caputo时间分数阶导数的二阶完全非线性PDE的粘性解的存在性与唯一性。通过比较原理和Perron方法，证明了在强Dirichlet边界条件和粘性意义下的Neumann边界条件下的Cauchy-Dirichlet问题与Cauchy-Neumann问题的唯一可解性。

ABSTRACT

Initial-boundary value problems for second order fully nonlinear PDEs with Caputo time fractional derivatives of order less than one are considered in the framework of viscosity solution theory. Associated boundary conditions are Dirichlet and Neumann, and they are considered in the strong sense and the viscosity sense, respectively. By a comparison principle and Perron's method, unique existence for the Cauchy-Dirichlet and Cauchy-Neumann problems are proved.

研究动机与目标

• 解决涉及阶数小于一的Caputo时间分数阶导数的二阶完全非线性PDE的解的存在性与唯一性问题。
• 在Dirichlet与Neumann边界条件下，制定并分析初边值问题。
• 将粘性解理论扩展至包含完全非线性PDE中Caputo分数阶时间导数的情境。
• 建立比较原理，并应用Perron方法证明Cauchy-Dirichlet问题与Cauchy-Neumann问题的唯一可解性。

提出的方法

• 本研究采用粘性解理论来处理PDE中的非线性性与光滑性缺失问题。
• 为分数阶PDE建立了比较原理，以确保粘性解的唯一性。
• 应用Perron方法，将解构造为所有满足边界条件的下解的逐点上确界。
• 边界条件以混合方式处理：Dirichlet条件以强意义处理，Neumann条件以粘性意义处理。
• 分析在阶数α ∈ (0,1)的Caputo导数的时间分数阶PDE背景下进行。
• 该框架允许完全非线性PDE中对Hessian矩阵与梯度的依赖关系为一般且非线性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有阶数小于一的Caputo时间分数阶导数的二阶完全非线性PDE存在粘性解？
• RQ2 在该类分数阶PDE的粘性解背景下，如何一致地表述Dirichlet与Neumann边界条件？
• RQ3 在该分数阶PDE设定下，何种条件可确保粘性解的唯一性？
• RQ4 比较原理能否扩展至包含Caputo导数的完全非线性时间分数阶PDE？
• RQ5 Perron方法是否适用于构造此类初边值问题的解？

主要发现

• 为所考虑的完全非线性时间分数阶PDE类建立了比较原理，确保了粘性解的唯一性。
• 当Dirichlet边界条件以强意义施加时，Cauchy-Dirichlet问题存在唯一的粘性解。
• 当Neumann边界条件以粘性意义解释时，Cauchy-Neumann问题存在唯一的粘性解。
• Perron方法成功地将唯一解构造为所有满足边界条件的下解的上确界。
• 结果将粘性解理论扩展至包含完全非线性PDE中Caputo时间分数阶导数，且适用于混合边界条件的情形。