[论文解读] On existence and uniqueness of solutions for semilinear fractional wave equations

Yavar Kian, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过基于线性问题性质的新型弱解定义，建立了具有 Caputo 时间导数（阶数 $α ∈ (1,2)$）的半线性分数阶波动方程的局部弱解的存在性与唯一性。关键结果表明，在适当的非线性增长条件下，解的存在时间明确依赖于初始数据的大小，初始数据越小，解的存在时间越长。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a $\mathcal C^2$-bounded domain of $\mathbb R^d$, $d=2,3$, and fix $Q=(0,T) imesΩ$ with $T\in(0,+\infty]$. In the present paper we consider a Dirichlet initial-boundary value problem associated to the semilinear fractional wave equation $\partial_t^αu+\mathcal A u=f_b(u)$ in $Q$ where $11$. We first provide a definition of local weak solutions of this problem by applying some properties of the associated linear equation $\partial_t^αu+\mathcal A u=f(t,x)$ in $Q$. Then, we prove existence of local solutions of the semilinear fractional wave equation for some suitable values of $b>1$. Moreover, we obtain an explicit dependence of the time of existence of solutions with respect to the initial data that allows longer time of existence for small initial data.

研究动机与目标

• 为有界 $\mathcal{C}^2$ 域中阶数满足 $1<\alpha<2$ 的半线性分数阶波动方程定义合适的弱解概念，其时间导数为 Caputo 导数 $\partial_t^\alpha$。
• 在非线性项满足 $|f_b'(u)| \leq C|u|^{b-1}$ 且 $b>1$ 的条件下，建立该半线性方程初值-边值问题的适定性。
• 推导解的存在时间与初始数据 $u_0, u_1$ 大小之间的显式依赖关系。
• 通过利用线性问题的性质，将弱解理论扩展至分数阶波动方程，特别是针对低正则性源项的情形。

提出的方法

• 通过关联的线性分数阶波动方程 $\partial_t^\alpha u + \mathcal{A}u = f(t,x)$ 定义弱解，利用谱分解与能量估计。
• 在合适的函数空间 $Z_T = \mathcal{C}([0,T];L^2(\Omega)) \cap L^p(0,T;L^q(\Omega))$ 中采用逐次逼近法（不动点论证）。
• 使用适用于分数阶波动方程的 Strichartz 型估计，控制 $L^1(0,T;L^2(\Omega))$ 中的非线性项 $f_b(u)$。
• 应用 Young 不等式与谱投影算子的 $L^p$ 有界性，证明迭代序列在 $W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$ 中的收敛性。
• 通过 $L^2$ 正交基上的级数收敛性，证明解的正则性，即解属于 $W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$ 和 $\mathcal{C}([0,T];H^{2\gamma}(\Omega))$。
• 推导出解的存在时间 $T$ 与初始数据范数的显式关系，满足 $T \propto (\|u_0\|_{H^{2\gamma}} + \|u_1\|_{H^{2s}})^{-(b-1)/p}$，其中 $p > b$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准分部积分法失效时，如何为具有 Caputo 导数 $\partial_t^\alpha$（$1<\alpha<2$）的半线性分数阶波动方程建立一致的弱解定义？
• RQ2 非线性项 $f_b(u)$ 需满足何种条件，才能在合适的函数空间中保证局部解的存在性与唯一性？
• RQ3 解的存在时间如何依赖于初始数据 $u_0, u_1$ 的大小？
• RQ4 在所提出的框架下，能否证明解具有足够的正则性，例如属于 $W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$？
• RQ5 是否可以将经典波动方程中使用的 Strichartz 型方法推广至 $\alpha \in (1,2)$ 的分数阶情形？

主要发现

• 提出了一种针对半线性分数阶波动方程的新弱解定义，其基础是相应线性问题的适定性。
• 在空间 $L^p(0,T;L^q(\Omega)) \cap \mathcal{C}([0,T];L^2(\Omega)) \cap W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$ 中，证明了解的存在性与唯一性，其中 $p,q,\ell$ 选择适当。
• 解的存在时间 $T$ 满足 $T \leq \min\left\{ (3C M^{b-1})^{-p/(p-b)}, T_0 \right\}$，其中 $M$ 为解范数的上界，表明初始数据越小，解的存在时间越长。
• 证明了解属于 $W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$，从而确认了弱形式成立所必需的时间正则性。
• 证明非线性项 $f_b(u)$ 属于 $L^1(0,T;L^2(\Omega))$，从而支持了积分表示与不动点论证的应用。
• 在 $Z_T$ 中建立了解范数的统一有界性，确保了不动点迭代的收敛性，从而证明了解的存在性与唯一性。