[论文解读] On exponential functionals, harmonic potential measures and undershoots of subordinators

Larbi Alili, Wissem Jedidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文建立了子过程的指数泛函 $ I $ 的分布与该子过程的调和势测度之间的直接联系，给出了 $ \log I $ 无限可分的必要且充分条件，该条件以 Lévy 测度表示。通过无穷乘积推导了 $ \log I $ 和 $ \log R $ 的矩母函数，并将余项随机变量 $ R $ 表征为子过程最后通过时间的无穷乘积。

ABSTRACT

We establish a link between the distribution of an exponential functional I and the undershoots of a subordinator, which is given in terms of the associated harmonic potential measure. This allows us to give a necessary and sufficient condition in terms of the Lévy measure for the exponential functional to be multiplicative infinitely divisible. We then provide a formula for the moment generating function of an exponential functional $I$ and the so called remainder random variable $R$ associated to it. We provide a realization of the remainder random variable $R$ as an infinite product involving independent last position random variables of the subordinator. Some properties of harmonic measures are obtained and some examples are provided.

研究动机与目标

• 建立子过程的指数泛函 $ I $ 的分布与该子过程调和势测度之间的联系。
• 基于 Lévy 测度，推导 $ \log I $ 无限可分的必要且充分条件。
• 为 $ \log I $ 和与 $ I $ 相关的余项变量 $ \log R $ 提供矩母函数的显式公式。
• 将余项随机变量 $ R $ 表示为子过程独立最后通过时间的无穷乘积。
• 表征 $ \log I $ 和 $ \log R $ 的 Lévy 测度，并探讨调和势测度的性质。

提出的方法

• 使用子过程的调和势测度（h.p.m.）作为关键工具，将 $ I $ 的分布与子过程的下穿量联系起来。
• 应用 Lévy-Khintchine 表示和拉普拉斯指数 $ \phi(\lambda) $，将 $ \log I $ 和 $ \log R $ 的矩母函数表示为包含 $ \phi $ 的无穷乘积。
• 利用恒等式 $ IR \stackrel{d}{=} \mathbf{e} $，其中 $ \mathbf{e} $ 为标准指数分布，推导矩公式并表征 $ R $。
• 通过时间-空间反演和泊松点过程推导子过程的调和势测度，尤其在具有漂移和有限 Lévy 测度的情况下。
• 利用 Fristedt 公式和子过程的更新结构，将调和势测度表示为涉及首达时间期望的和。
• 应用伽马分布和广义伽马卷积的已知恒等式，将 $ \log R $ 的 Lévy 测度与单边 Linnik 分布联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 子过程的调和势测度与指数泛函 $ I $ 的分布之间存在何种精确关系？
• RQ2 在 Lévy 测度满足何种条件下，$ \log I $ 是无限可分的？
• RQ3 $ \log I $ 和 $ \log R $ 的矩母函数能否表示为包含拉普拉斯指数 $ \phi $ 的无穷乘积？
• RQ4 余项随机变量 $ R $ 如何表示为最后通过时间的无穷乘积？
• RQ5 $ \log I $ 和 $ \log R $ 的 Lévy 测度是什么？它们与单边 Linnik 分布等已知分布有何关联？

主要发现

• 本文证明了 $ \log I $ 无限可分当且仅当子过程的 Lévy 测度 $ \Pi $ 满足与调和势测度相关的特定条件。
• 矩母函数 $ \mathbf{E}[e^{\lambda \log I}] $ 由无穷乘积给出：$ \prod_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\phi(n)} $，同理 $ \mathbf{E}[e^{\lambda \log R}] = \prod_{n=1}^{\infty} \phi(n) $。
• 余项随机变量 $ R $ 可表示为子过程独立最后通过时间的无穷乘积，扩展了伽马变量的已知恒等式。
• 在稳定子过程假设下，$ \log I $ 的 Lévy 测度密度与 $ \frac{e^x}{|x|(1-e^x)} \left( (1-\alpha) + \alpha \mathbf{E}[1 - e^{-q(-x)^\alpha (S^\alpha_1)^{-\alpha}}] \right) $ 成正比（$ x < 0 $ 时）。
• $ \log R $ 的 Lévy 测度关于单边 Linnik 随机变量的分布是绝对连续的，建立了这两类分布之间的新联系。
• 对于拉普拉斯指数为 $ \phi(\lambda) = \lambda + c(1 - (1+\lambda)^{-\beta}) $ 的子过程，调和势测度被显式计算为 $ \left(1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c^n x^{n(1+\beta)} \Gamma(n\beta)}{n \Gamma(n(1+\beta))} \right) e^{-cx} x^{-1} dx $。