[论文解读] On exposed positive maps: Robertson and Breuer-Hall maps

Dariusz Chruściński|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2011

Algebraic structures and combinatorial models被引用 1

一句话总结

本文证明了在 $M_{2n}(\bb{C})$ 中的 Breuer-Hall 正映射在正映射的凸锥中是暴露的，这一性质强于最优性或极值性。作为推论，本文确立了在 $M_4(\bb{C})$ 中的 Robertson 映射（Breuer-Hall 构造的特例）不仅是极值的，而且是暴露的，从而增强了其在通过暴露纠缠判据检测纠缠方面的实用性。

ABSTRACT

It is well known that so called Breuer-Hall positive maps used in entanglement theory are optimal. We show that these maps possess much more subtle property --- they are exposed. As a byproduct it proves that a Robertson map in the algebra of 4 x 4 complex matrices is not only extreme, which was already shown by Robertson, but also exposed.

研究动机与目标

• 确定在 $M_{2n}(\bb{C})$ 上的 Breuer-Hall 正映射是否在正映射的凸锥中是暴露的。
• 研究已知为极值但此前未证明为暴露的 $M_4(\bb{C})$ 中的 Robertson 映射的暴露性。
• 通过展示暴露映射可检测所有纠缠态，阐明其在纠缠理论中的作用。
• 通过对偶性理论，加强暴露映射、对偶面与正映射结构之间的联系。

提出的方法

• 使用凸锥中的对偶性理论：一个映射是暴露的当且仅当其对偶面是唯一的。
• 将 Breuer-Hall 映射的对偶面 $[\varphi_{BH}]'$ 特征化为单位向量 $x$ 的投影 $|x\rangle\langle x| \otimes |x\rangle\langle x|$ 和 $|x\rangle\langle x| \otimes |Ux\rangle\langle Ux|$ 的凸包。
• 通过求解条件 $\langle x|\varphi(P_x)|x\rangle = 0$ 对所有 $x$ 成立，计算双对偶 $[\varphi_{BH}]''$，从而得到形如 $\varphi(X) = \sum_k \lambda_k A_k X^t A_k^*$ 的映射类，其中 $A_k$ 为反对称矩阵。
• 应用一个引理：若一组反对称矩阵构成 $M_{2n}(\bb{C})$ 的基，则其在 $|x\rangle\langle x|$ 上的加权和可得到 $I - |x\rangle\langle x|$。
• 利用归一化与对称性，证明双对偶中唯一的正映射是 $\varphi_{BH}$ 的标量倍，从而证明其暴露性。
• 利用恒等式 $\varphi_{BH} = R_{2n} - \varphi_U$，其中 $R_{2n}$ 为约化映射，$\varphi_U$ 为暴露映射，证明 $R_{2n}$ 虽非极值，但位于最优映射的面中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $M_{2n}(\bb{C})$ 上的 Breuer-Hall 正映射是否在正映射的凸锥中是暴露的？
• RQ2 已知 Robertson 映射在 $M_4(\bb{C})$ 中为极值，其是否也是暴露的？
• RQ3 暴露映射与其唯一对偶面之间的对偶性是否可在一般框架中用于证明暴露性？
• RQ4 约化映射 $R_n$ 与暴露映射之间存在何种关系，特别是在 $n > 2$ 时？
• RQ5 构造 $\varphi_{BH} = R_{2n} - \varphi_U$ 是否意味着 $\varphi_{BH}$ 从 $\varphi_U$ 继承或获得暴露性？

主要发现

• 在 $M_{2n}(\bb{C})$ 中的 Breuer-Hall 映射被证明是暴露的，这一性质强于最优性或极值性。
• $M_4(\bb{C})$ 中的 Robertson 映射被证明是暴露的，扩展了其作为极值映射的已知性质。
• 对偶面 $[\varphi_{BH}]'$ 恰好由单位向量 $x$ 的 $|x\rangle\langle x| \otimes |x\rangle\langle x|$ 和 $|x\rangle\langle x| \otimes |Ux\rangle\langle Ux|$ 的凸包构成。
• 双对偶 $[\varphi_{BH}]''$ 中仅包含与 $\varphi_{BH}$ 成比例的映射，确认该面是暴露的。
• 约化映射 $R_n$ 在 $n > 2$ 时不是暴露的，但 $R_{2n}$ 是两个暴露映射 $\varphi_{BH}$ 和 $\varphi_U$ 的凸组合，因此不是极值的。
• 恒等式 $\varphi_{BH} = R_{2n} - \varphi_U$ 表明，从约化映射中减去一个暴露映射可得到另一个暴露映射，揭示了正映射锥中结构关系。