[论文解读] On Extended Boundary Sequences of Morphic and Sturmian Words

Michel Rigo, Manon Stipulanti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文研究了morphic和Sturmian词的ℓ-边界序列，证明在可加的抽象计数系统下，若一个词是S-自动的，则其ℓ-边界序列也是S-自动的。本文建立了一个结果：Sturmian词的ℓ-边界序列可通过其特征Sturmian词经滑动块编码得到，同时也是另一特征Sturmian词在某个同态下的像，且给出了明确的复杂度界。

ABSTRACT

Generalizing the notion of the boundary sequence introduced by Chen and Wen, the $n$th term of the $\ell$-boundary sequence of an infinite word is the finite set of pairs $(u,v)$ of prefixes and suffixes of length $\ell$ appearing in factors $uyv$ of length $n+\ell$ ($n\ge \ell\ge 1$). Otherwise stated, for increasing values of $n$, one looks for all pairs of factors of length $\ell$ separated by $n-\ell$ symbols. For the large class of addable abstract numeration systems $S$, we show that if an infinite word is $S$-automatic, then the same holds for its $\ell$-boundary sequence. In particular, they are both morphic (or generated by an HD0L system). To precise the limits of this result, we discuss examples of non-addable numeration systems and $S$-automatic words for which the boundary sequence is nevertheless $S$-automatic and conversely, $S$-automatic words with a boundary sequence that is not $S$-automatic. In the second part of the paper, we study the $\ell$-boundary sequence of a Sturmian word. We show that it is obtained through a sliding block code from the characteristic Sturmian word of the same slope. We also show that it is the image under a morphism of some other characteristic Sturmian word.

研究动机与目标

• 确定morphic词的ℓ-边界序列保持morphic或S-自动性的条件。
• 研究Sturmian词的ℓ-边界序列的结构与性质。
• 通过分析非可加计数系统和反例，澄清一般性结果的局限性。
• 建立边界序列与已知组合结构（如滑动块编码和同态）之间的联系。
• 推导Sturmian词的1-边界序列的显式因子复杂度公式。

提出的方法

• 将Chen和Wen的边界序列概念推广，本文将ℓ-边界序列定义为长度为n+ℓ的因子中，长度为ℓ的前缀和后缀的配对(u,v)的集合。
• 引入可加抽象计数系统的概念，并证明在这些系统中，S-自动性在ℓ-边界序列构造下保持不变。
• 对于Sturmian词，本文从其特征Sturmian词构造一个滑动块编码以生成ℓ-边界序列。
• 证明ℓ-边界序列是另一特征Sturmian词在某个同态下的像，使用符号动力系统和区间交换变换的方法。
• 利用几何和动力系统技术，包括环面上的旋转和区间划分，分析边界对的结构。
• 通过分析滑动块编码下的原像结构，并对词的前缀进行归纳，推导1-边界序列的因子复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，S-自动词的ℓ-边界序列也是S-自动的？
• RQ2 Sturmian词的ℓ-边界序列能否通过其特征Sturmian词的滑动块编码生成？
• RQ3 Sturmian词的ℓ-边界序列是否为另一特征Sturmian词在某个同态下的像？
• RQ4 Sturmian词的1-边界序列的因子复杂度是多少？它如何依赖于词中(01)r的最大幂？
• RQ5 是否存在非可加计数系统下S-自动性不被保持的例子，或尽管原词是S-自动的但边界序列不是S-自动的情况？

主要发现

• 在可加抽象计数系统下，若一个无限词是S-自动的，则其ℓ-边界序列也是S-自动的，因此也是morphic的。
• Sturmian词的ℓ-边界序列是通过其相同斜率的特征Sturmian词的滑动块编码得到的。
• Sturmian词的ℓ-边界序列是另一特征Sturmian词在某个同态下的像。
• Sturmian词s的1-边界序列的因子复杂度为n ↦ n+1（当n < 2r时），否则为n+2，其中r是满足(01)r在s中出现的最大整数。
• 对于所有ℓ ≥ 1，边界序列是非周期的，这由滑动块编码下存在不同原像所证明。
• Fibonacci词的∂f,2边界序列中，字母a仅出现一次，而其他所有字母均无限次出现。