[论文解读] On Extension Of Functors

Lesya Karchevska, Taras Radul|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了从紧致豪斯多夫空间范畴（Comp）到蒂科诺夫空间范畴（Tych）的函数的奇戈吉德泽扩张，重点关注哪些性质——尤其是嵌入保持性——得以保留。文章引入了1-原像保持性质，作为嵌入保持的充要条件，并证明强凸函数的扩张具有拓扑分类性质，例如根据子空间的拓扑结构，其结果为到(Q, σ)、(Q, Σ)或(Q, Σ^ω)的同胚。

ABSTRACT

A.Chigogidze defined for each normal functor on the category Comp an extension which is a normal functor on the category Tych. We consider this extension for any functor on the category Comp and investigate which properties it preserves from the definition it preserves from the definition of normal functor. We investigate as well some topological properties of such extension.

研究动机与目标

• 确定正规函数在从Comp到Tych的奇戈吉德泽扩张下，哪些性质得以保留。
• 识别函数扩张保持嵌入的必要与充分条件。
• 引入并分析1-原像保持性质作为嵌入保持的关键判据。
• 推广可分度量空间上凸函数奇戈吉德泽扩张的拓扑分类结果。
• 建立度量紧空间X与适当稠密Gδ子集Y的(FX, FβY)的同胚类型。

提出的方法

• 通过Fβ(X) = {a ∈ F(βX) | ∃ compact A ⊂ X with a ∈ F(iA)(F(A))} 定义任意函子F: Comp → Comp的奇戈吉德泽扩张Fβ。
• 引入1-原像保持性质：当f|f⁻¹(A)是同胚时，(Ff)⁻¹(FA) = F(f⁻¹(A))。
• 证明：当且仅当F是1-原像保持时，单态函子F在Fβ下保持嵌入。
• 通过条件(FX ∖ FA) ∩ aff(FA) = ∅ 定义强凸函子，其中A ⊂ X为闭集。
• 利用同伦与Z-集理论，证明当F为强凸时，FβY是FX中的σZ-集。
• 应用刻画定理（定理A、B、C），根据Y的拓扑类型，将(FX, FβY)按同胚关系分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇戈吉德泽扩张至蒂科诺夫空间时，正规函子的哪些性质得以保留？
• RQ2 奇戈吉德泽扩张保持嵌入的必要与充分条件是什么？
• RQ3 在何种条件下，凸函子的奇戈吉德泽扩张同胚于(Q, σ)、(Q, Σ)或(Q, Σ^ω)？
• RQ4 稠密Gδ子集Y ⊂ X的拓扑结构如何影响(FX, FβY)的同胚类型？
• RQ5 强凸性质在确保FβY是FX中的σZ-集方面起什么作用？

主要发现

• 奇戈吉德泽扩张Fβ保持嵌入，当且仅当原函子F是1-原像保持的。
• 对于强凸函子F，以及具有适当稠密Gδ子集Y的度量紧空间X，若Y离散且对所有n ∈ ℕ，F(n)为有限维，则(FX, FβY)同胚于(Q, σ)。
• 若Y离散且存在某个n使得F(n)为无限维，或Y为局部紧非离散，则(FX, FβY)同胚于(Q, Σ)。
• 若Y非局部紧，则(FX, FβY)同胚于(Q, Σ^ω)。
• 当X为可分度量空间时，若X ≅ ℕ且F(n)为有限维，则Fβ(X) ≅ Qf；否则Fβ(X) ≅ Σ。
• 若X为拓扑完备、非紧致且非局部紧，则Fβ(X) ≅ Σ^ω。