[论文解读] On Extension of Ginzburg-Jiang-Soudry Correspondence to Certain Automorphic Forms on $Sp_{4mn}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{4mn \pm 2n}(\BA)$

Baiying Liu|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过自守下降映射的复合，将 Ginzburg-Jiang-Soudry 对应关系从 $\mathrm{Sp}_{4n}(\mathbb{A})$ 扩展至 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$，证实了关于全局 Arthur 参数与 Fourier 系数之间联系的猜想。研究证明了某些余表示通过下降映射可不可约地映射到离散谱中的尖形式，从而为高阶辛群建立了新的对应关系。

ABSTRACT

Let $F$ be a number field, and $\BA=\BA_F$. In this paper, first, we provide a family of global Arthur parameters confirming all parts of a general conjecture on the relation between the structure of Fourier coefficients and the structure of global Arthur parameters, given by Jiang in 2012. Then we extend a correspondence between certain automorphic forms on $Sp_{4n}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{2n}(\BA)$, given by Ginzburg, Jiang and Soudry in 2012, to certain automorphic forms on $Sp_{4mn}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{4mn \pm 2n}(\BA)$, using the same idea of considering compositions of automorphic descent maps.

研究动机与目标

• 将 Ginzburg-Jiang-Soudry 对应关系从 $\mathrm{Sp}_{4n}(\mathbb{A})$ 扩展至更高阶辛群 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$ 和 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$。
• 证实 Jiang（2012）提出的猜想，即全局 Arthur 参数与自守表示最大 Fourier 系数结构之间的联系。
• 建立 $\mathrm{Sp}_{4mn+4n}(\mathbb{A})$ 上某些余表示通过自守下降映射可不可约地映射至离散谱中的平方可积表示。
• 证明下降映射的复合可显式建立 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$ 与 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$ 上自守形式之间的对应关系。

提出的方法

• 通过自守下降映射的复合，从 $\mathrm{Sp}_{4mn+4n}(\mathbb{A})$ 上的余 Eisenstein 系数构造高阶辛群上的表示。
• 对余表示 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)}$ 应用下降映射 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1}$，得到离散谱中的表示。
• 在余表示 $\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}$ 上应用下降映射 $\mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^{-1}}$，以恢复原始表示 $\pi$。
• 依赖于余表示 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)}$ 和 $\widetilde{\mathcal{E}}_{\Delta(\tau,m-1),\widetilde{\pi}}$ 的不可约性，以确保下降复合过程非零且相等。
• 利用恒等式 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}} \circ \mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^1}(\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}) = \pi$ 验证对应关系。
• 分析由抛物子群上数据诱导的 Eisenstein 系数，以检测极点并构造余表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ginzburg-Jiang-Soudry 对应关系是否可从 $\mathrm{Sp}_{4n}(\mathbb{A})$ 扩展至 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$ 和 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$？
• RQ2 全局 Arthur 参数的结构是否可与离散谱中自守表示的最大 Fourier 系数相联系？
• RQ3 从 $\mathrm{Sp}_{4mn+4n}(\mathbb{A})$ 到 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$ 的自守下降映射复合过程，经由中间的 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn+2n}(\mathbb{A})$ 表示，是否非零且不可约？
• RQ4 下降过程是否可从 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn+2n}(\mathbb{A})$ 上的余表示恢复原始表示 $\pi$？

主要发现

• 复合 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1} \circ \mathcal{D}^{4mn+4n}_{2n,\psi^{-1}}(\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m+1)})$ 产生一个非零、不可约且平方可积的离散谱表示。
• 对 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)}$ 应用下降映射 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}}$，可得到一个不可约表示 $\pi$，该表示为平方可积且属于离散谱。
• 恒等式 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}} \circ \mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^1}(\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}) = \pi$ 确认了 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$ 与 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn+2n}(\mathbb{A})$ 上表示之间的逆对应关系。
• 在假设 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m-1)}$ 不可约的前提下，证明了余表示 $\widetilde{\mathcal{E}}_{\Delta(\tau,m-1),\widetilde{\pi}}$ 也是不可约的，从而支持下降过程可恢复 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m-1)}$。
• 下降过程证实 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1}(\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)})$ 为不可约且平方可积，从而验证了高阶群上的对应关系。