[论文解读] On extensions of d.c. functions and convex functions

Libor Veselý, Luděk Zaj́ıček|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文建立了在何种条件下，d.c. 函数和连续凸函数可从赋范线性空间的凸子集或闭子空间扩展到整个空间。通过利用先前关于 d.c. 映射的组合结果，证明了在 $L_p(\mu)$ 空间中，若连续凸函数在有界开集上满足局部利普希茨条件，则其可扩展为 d.c. 函数。此外，本文还提出了一个关于从闭子空间扩展连续凸函数的新必要与充分条件，为可分商空间中已知结果提供了更简洁的证明。

ABSTRACT

We show how our recent results on compositions of d.c. functions (and mappings) imply positive results on extensions of d.c. functions (and mappings). Examples answering two natural relevant questions are presented. Two further theorems, concerning extendability of continuous convex functions from a closed subspace of a normed linear space, complement recent results of J.Borwein, V.Montesinos and J.Vanderwerff.

研究动机与目标

• 解决赋范线性空间中凸子集上的 d.c. 函数与映射向整个空间的可扩展性问题。
• 研究赋范线性空间中闭子空间上的连续凸函数是否可扩展至整个空间。
• 为从闭子空间扩展连续凸函数提供新的必要与充分条件，区别于现有刻画方式。
• 为 Borwein 等人关于商空间可分时的扩展结果提供一种替代的、初等的证明，该方法甚至适用于非完备空间。

提出的方法

• 利用先前关于 d.c. 函数与映射的组合定理，推导出在 $L_p(\mu)$ 空间中 $1 < p \leq 2$ 时 d.c. 函数的扩展结果。
• 采用基于凸集列 $D_n \nearrow\!\!\nearrow C$ 的构造性方法，以确保局部利普希茨正则性并实现函数扩展。
• 提出一个关于从闭子空间 $Y$ 扩展连续凸函数至整个空间 $X$ 的新判据，其基于满足特定凸包包含关系的凸集序列的存在性。
• 利用 Rosenthal 的扩展定理及涉及凸包与球的几何论证，验证该新判据。
• 通过在 $X/Y$ 中构造紧致凸集列 $Z_n = \mathrm{conv}\{z_1,\dots,z_n\}$，生成 $X$ 中稠密的凸集列，从而实现对 $X$ 的一个构造性 exhaustion $D_j$。
• 应用引理 1.5，以在子空间限制下保持凸性与交集性质，确保构造的集合 $D_j$ 满足 $Y \cap D_j \subset C_j$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赋范线性空间 $X$ 的凸子集 $C$ 上定义的 d.c. 函数在何种条件下可扩展为整个空间 $X$ 上的 d.c. 函数？
• RQ2 赋范线性空间 $X$ 的闭子空间 $Y$ 上的连续凸函数是否可扩展为 $X$ 上的连续凸函数？
• RQ3 在有界集上满足局部利普希茨连续性是否足以保证连续凸扩展的存在？是否需要更强的正则性条件？
• RQ4 是否存在一个关于子空间 $Y$ 的新内在刻画，使得 $Y$ 上的每个连续凸函数均可扩展为 $X$ 上的连续凸函数？
• RQ5 是否能以更简单、更直接的方法重证当 $X/Y$ 可分时的已知扩展结果？

主要发现

• 在 $L_p(\mu)$ 空间中，若 $1 < p \leq 2$，则每个在具有非空内部的凸集 $C$ 上定义的连续凸函数，若在 $\mathrm{int}\,C$ 的有界子集上满足利普希茨条件，则可扩展为整个空间上的 d.c. 函数。
• 存在反例表明，即使在 $\mathbb{R}^2$ 中，该函数也不一定存在连续凸扩展，从而说明利普希茨条件的必要性。
• 有界集上的利普希茨条件无法弱化为 $C$ 上的局部利普希茨性，反例表明局部利普希茨性不足以保证可扩展性。
• 提出一个关于从闭子空间 $Y$ 扩展连续凸函数至 $X$ 的新必要与充分条件，其基于满足特定凸包包含关系的凸集序列的存在性。
• 为当 $X/Y$ 可分时，每个 $Y$ 上的连续凸函数均可扩展为 $X$ 上的连续凸函数这一结果，给出了一个初等证明，且该证明在 $X$ 不完备时依然成立。
• 该证明方法避免使用高级工具如 Rosenthal 定理，转而采用基于 $X/Y$ 中序列的凸包及其在 $X$ 中的提升构造 $X$ 的构造性 exhaustion。