[论文解读] On Extensions of Maximal Repeats in Compressed Strings

Julian Pape-Lange|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Algorithms and Data Compression参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通過對最大重複及其右擴展的組合分析，提出了一個新的上界：$ 73(\log_2 |S|)(z + 2)^2 $ 個運行次數，適用於字串 $ S $ 的運行長度 Burrows-Wheeler 變換（RLBWT）。該研究建立了最大對與 RLBWT 之間的全新聯繫，並提供了 Burrows-Wheeler 猜想的一種替代證明，該猜想最近由 Kempa 和 Kociumaka 解決。

ABSTRACT

This paper provides upper bounds for several subsets of maximal repeats and maximal pairs in compressed strings and also presents a formerly unknown relationship between maximal pairs and the run-length Burrows-Wheeler transform. This relationship is used to obtain a different proof for the Burrows-Wheeler conjecture which has recently been proven by Kempa and Kociumaka in "Resolution of the Burrows-Wheeler Transform Conjecture". More formally, this paper proves that the run-length Burrows-Wheeler transform of a string S with z_S LZ77-factors has at most 73(log₂ |S|)(z_S+2)² runs, and if S does not contain q-th powers, the number of arcs in the compacted directed acyclic word graph of S is bounded from above by 18q(1+log_q |S|)(z_S+2)².

研究动机与目标

• 分析壓縮字串中最大重複及其右擴展的組合結構。
• 基於 LZ77 因子，建立 RLBWT 中運行次數的更緊緻上界。
• 揭示最大對與 RLBWT 之間的全新關係，從而提供 Burrows-Wheeler 猜想的另一種證明。
• 深化對高度週期性結構如何影響 RLBWT 和 CDAWG 壓縮效率的理解。

提出的方法

• 將最大重複及其右擴展作為衡量字串重複性的指標。
• 引入「非高度週期性」或「短擴展」最大重複的概念，以減少重複計數。
• 利用循環旋轉的字典序排序，透過 Burrows-Wheeler 變換的性質推導 RLBWT 運行次數的界。
• 應用週期性論證與循環排列比較，證明僅有限的擴展會導致新運行的產生。
• 利用 LZ77 因子與字串冪（q 次冪）的結構，界定不同最大對的數量。
• 透過重複擴展的組合論證，推導出 RLBWT 運行次數與 CDAWG 擺動數量的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於具有 $ z $ 個 LZ77 因子且不含 $ q $-次冪的字串，其運行長度 Burrows-Wheeler 變換最多可有多少個運行？
• RQ2 最大對與 RLBWT 中運行數量之間的關係為何？
• RQ3 最大重複的右擴展數量能否以 $ z $ 和 $ \log |S| $ 表示？
• RQ4 高度週期性結構如何影響 RLBWT 運行次數與 CDAWG 擺動數量？
• RQ5 能否利用最大重複擴展推導出 Burrows-Wheeler 猜想的新證明？

主要发现

• 對於具有 $ z $ 個 LZ77 因子且不含 $ q $-次冪的字串 $ S $，其運行長度 Burrows-Wheeler 變換中的運行次數最多為 $ 73(\log_2 |S|)(z + 2)^2 $。
• 字串 $ S $ 的壓縮有向無環詞圖（CDAWG）中的擺動數量，其上界為 $ 18q(1 + \log_q |S|)(z + 2)^2 $。
• 僅有一部分最大重複——即非高度週期性或無法以超過一個週期長度擴展的重複——會顯著貢獻於 RLBWT 運行次數。
• 本文提供了 Burrows-Wheeler 猜想的替代證明，顯示 $ r \in O((\log |S|)z^2) $，與 Kempa 和 Kociumaka 的結果一致。
• 證明對於每個最大重複，若其為 $ p^q $ 形式，則其兩次出現中至少有一個無法再延伸超過 $ |p| $ 個字元，從而限制了運行計數中的過度計數。
• 研究結果表明，基於最大重複的基底簡化機制的壓縮資料結構，可達成 $ O((\log |S|)z^2) $ 個擺動數量，接近 CDAWG 的效率，且具有更佳的壓縮效果。