[论文解读] On extremal cacti with respect to the edge Szeged index and edge-vertex Szeged index

Shengjie He, Rong‐Xia Hao+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Graph theory and applications被引用 3

一句话总结

该论文确定了具有 $n$ 个顶点和 $k$ 个环的仙人掌图的最小边 Szeged 指数与边-顶点 Szeged 指数，证明达到这些界限的极值图是 $k$ 个三角形在公共顶点处连接而成的束状结构，并附加 $n-2k-1$ 条悬挂边。结果提供了这两类指标在仙人掌图类中的精确下界，并唯一刻画了对应的极值结构。

ABSTRACT

The edge Szeged index and edge-vertex Szeged index of a graph are defined as $Sz_{e}(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}m_{u}(uv|G)m_{v}(uv|G)$ and $Sz_{ev}(G)=\frac{1}{2} \sum\limits_{uv \in E(G)}[n_{u}(uv|G)m_{v}(uv|G)+n_{v}(uv|G)m_{u}(uv|G)],$ respectively, where $m_{u}(uv|G)$ (resp., $m_{v}(uv|G)$) is the number of edges whose distance to vertex $u$ (resp., $v$) is smaller than the distance to vertex $v$ (resp., $u$), and $n_{u}(uv|G)$ (resp., $n_{v}(uv|G)$) is the number of vertices whose distance to vertex $u$ (resp., $v$) is smaller than the distance to vertex $v$ (resp., $u$), respectively. A cactus is a graph in which any two cycles have at most one common vertex. In this paper, the lower bounds of edge Szeged index and edge-vertex Szeged index for cacti with order $n$ and $k$ cycles are determined, and all the graphs that achieve the lower bounds are identified.

研究动机与目标

• 确定具有 $n$ 个顶点和 $k$ 个环的仙人掌图的边 Szeged 指数与边-vertex Szeged 指数的下界。
• 刻画所有达到这些最小值的仙人掌图。
• 确立极值图为 $k$ 个共享一个公共顶点的三角形束，并带有 $n-2k-1$ 条悬挂边。
• 通过引入并分析边 Szeged 指数与边-顶点 Szeged 指数，拓展了仙人掌图中拓扑指数的先前研究。
• 为未来关于最大指数及其他图类的研究提供基础。

提出的方法

• 论文将边 Szeged 指数定义为 $Sz_e(G) = \sum_{uv \in E(G)} m_u(uv|G) m_v(uv|G)$，其中 $m_u(uv|G)$ 表示距离 $u$ 比距离 $v$ 更近的边的数量。
• 定义边-顶点 Szeged 指数为 $Sz_{ev}(G) = \frac{1}{2} \sum_{uv \in E(G)} [n_u(uv|G) m_v(uv|G) + n_v(uv|G) m_u(uv|G)]$，其中 $n_u$ 表示距离 $u$ 比距离 $v$ 更近的顶点数量。
• 作者使用结构引理证明，极值仙人掌图中所有环必须是端块，且所有割边必须是悬挂边。
• 他们应用变换引理（例如引理 3.3 和引理 3.4）证明，长度大于 3 的环无法产生最小指标。
• 他们推导出在候选极值图 $C_0(n,k)$（即 $k$ 个三角形构成的束状结构并带有 $n-2k-1$ 条悬挂边）上两类指标的闭式表达式。
• 证明依赖于在图结构变化下比较指标值，并结合对环长和边分布的归纳法与分类讨论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有具有 $n$ 个顶点和 $k$ 个环的仙人掌图中，边 Szeged 指数的最小可能值是多少？
• RQ2 在所有具有 $n$ 个顶点和 $k$ 个环的仙人掌图中，边-顶点 Szeged 指数的最小可能值是多少？
• RQ3 哪些仙人掌图结构在给定 $n$ 和 $k$ 时达到最小边 Szeged 指数？
• RQ4 哪些仙人掌图结构在给定 $n$ 和 $k$ 时达到最小边-vertex Szeged 指数？
• RQ5 极值图能否在环结构与悬挂边分布方面被唯一刻画？

主要发现

• 对于任意满足 $n \geq 5$ 的仙人掌图 $C(n,k)$，其最小边 Szeged 指数为 $2kn + 2k^2 - 5k$，且仅由图 $C_0(n,k)$ 实现。
• 对于任意满足 $n \geq 5$ 的仙人掌图 $C(n,k)$，其最小边-顶点 Szeged 指数为 $\frac{1}{2}(n^2 - 3n + 3kn - 5k + 2)$，且仅由 $C_0(n,k)$ 实现。
• 极值图 $C_0(n,k)$ 由 $k$ 个共享一个公共顶点的三角形构成，并在该顶点处附加 $n - 2k - 1$ 条悬挂边。
• 通过变换引理可证，长度大于 3 的环无法产生最小指标，因为用三角形替换更长的环可降低指标值。
• 在极值图中，所有割边必须是悬挂边，且所有环必须是端块，从而确认了 $C_0(n,k)$ 的结构唯一性。
• 结果是紧确且精确的，仅当图结构为指定束状结构时等号成立，该结论通过图变换下的指标比较得以证明。