[论文解读] On Extremal Graphs of Weighted Szeged Index

Jan Bok, Boris Furtula+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2019

Graph theory and applications参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文研究了加权Szeged指数（wSz）这一拓扑图不变量的极值行为。证明了星图在所有树中使wSz最大化，并猜想在所有连通图中，平衡完全二分图 $K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$ 使wSz最大化。在最小化方面，通过计算机搜索识别出最小树的结构约束，并猜想最小wSz图始终是一棵树。

ABSTRACT

An extension of the well-known Szeged index was introduced recently, named as weighted Szeged index ($ extrm{sz}(G)$). This paper is devoted to characterizing the extremal trees and graphs of this new topological invariant. In particular, we proved that the star is a tree having the maximal $ extrm{sz}(G)$. Finding a tree with the minimal $ extrm{sz}(G)$ is not an easy task to be done. Here, we present the minimal trees up to 25 vertices obtained by computer and describe the regularities which retain in them. Our preliminary computer tests suggest that a tree with the minimal $ extrm{sz}(G)$ is also the connected graph of the given order that attains the minimal weighted Szeged index. Additionally, it is proven that among the bipartite connected graphs the complete balanced bipartite graph $K_{\left\lfloor n/2 ight floor\left\lceil n/2 ight ceil}$ attains the maximal $ extrm{sz}(G)$\,. We believe that the $K_{\left\lfloor n/2 ight floor\left\lceil n/2 ight ceil}$ is a connected graph of given order that attains the maximum $ extrm{sz}(G)$.

研究动机与目标

• 表征使加权Szeged指数（wSz）极值的图，wSz是最近引入的一种拓扑描述符。
• 确定在所有 $n$-顶点树中，哪类树使wSz最大，并证明星图达到最大值。
• 基于计算证据，研究在所有连通图中，最小wSz图是否一定是树。
• 利用计算机生成的示例（最多25个顶点），识别使wSz最小的树的结构特性。
• 猜想：在所有 $n$ 阶连通图中，平衡完全二分图 $K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$ 使wSz最大。

提出的方法

• 通过边收缩和指数差值分析，证明星图的最优性，表明将非星图树转化为其他形式会增加wSz。
• 采用基于变换的证明策略：用更集中的结构替换非星图子树，以增加wSz。
• 应用组合分析计算原始树与变换后树之间wSz值的差值 ($\Delta$)，使用顶点划分和度加权贡献。
• 使用计算机枚举生成最多25个顶点的最小wSz树，并识别出重复出现的结构模式。
• 应用结构约束（例如：无四射线，无度为3的顶点与两个三射线相邻）以排除非最小配置。
• 利用定义 $wSz(G) = \sum_{e=\{uv\} \in E(G)} [\deg(u)+\deg(v)] \cdot n_u(e) \cdot n_v(e)$，其中 $n_u(e)$ 表示距离 $u$ 比 $v$ 更近的顶点数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有 $n$-顶点树中，哪类树使加权Szeged指数最大？
• RQ2 在所有 $n$ 阶图中，哪类连通图使加权Szeged指数最大？
• RQ3 在所有 $n$-顶点树中，哪类树使加权Szeged指数最小？
• RQ4 最小wSz树表现出哪些结构特性？
• RQ5 在所有连通图中，最小wSz图是否一定是树？

主要发现

• 星图 $S_n = K_{1,n-1}$ 在所有 $n$-顶点树中达到最大的加权Szeged指数。
• 在所有二分图连通图中，平衡完全二分图 $K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$ 使加权Szeged指数最大。
• 当 $n \geq 7$ 时，任何最小wSz树都不包含与四射线（从中心顶点出发的四条边的路径）相连的顶点。
• 当 $n > 7$ 时，最小wSz树中不存在度为3的顶点与两个三射线（长度为三的边路径）相邻的情况。
• 在四射线或两个三射线的变换中，差值 $\Delta = wSz(T_{\min}) - wSz(T)$ 为正（例如，当 $n \geq 7$ 时，$\Delta = 2n - 12 > 0$），证明其非最小性。
• 计算机生成的最多25个顶点的最小wSz树表明，所有连通图中最小wSz图很可能是树，支持猜想2。