[论文解读] On extremal graphs with at most two internally disjoint Steiner trees connecting any three vertices

Hengzhe Li, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Graph theory and applications参考文献 15被引用 21

一句话总结

本文研究了任意三个顶点之间至多存在两条内部不相交的 Steiner 树的极值图，确定了当 $k=3$ 时此类图的最大边数为：当 $n \geq 3, n \neq 4$ 时 $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2n-3$，当 $n=4$ 时为 $2n-2$。本文刻画了达到该边数的极值图，并为更高连通性水平提供了通用的下界。

ABSTRACT

The problem of determining the smallest number of edges, $h(n;\barκ\geq r)$, which guarantees that any graph with $n$ vertices and $h(n;\barκ\geq r)$ edges will contain a pair of vertices joined by $r$ internally disjoint paths was posed by Erdös and Gallai. Bollobás considered the problem of determining the largest number of edges $f(n;\barκ\leq \ell)$ for graphs with $n$ vertices and local connectivity at most $\ell$. One can see that $f(n;\barκ\leq \ell)= h(n;\barκ\geq \ell+1)-1$. These two problems had received a wide attention of many researchers in the last few decades. In the above problems, only pairs of vertices connected by internally disjoint paths are considered. In this paper, we study the number of internally disjoint Steiner trees connecting sets of vertices with cardinality at least 3.

研究动机与目标

• 确定在 $k=3$ 时，阶为 $n$ 且最大广义局部连通度至多为 $\ell$ 的图中边数的最大值 $f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell)$。
• 刻画当 $\ell=2$ 时达到该最大边数的极值图。
• 为任意 $\ell$ 建立 $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell)$ 的通用下界。
• 探讨 $f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell)$ 与 $h(n;\overline{\kappa}_k \geq r)$ 之间的对偶性，其中 $h(n;\overline{\kappa}_k \geq r)$ 表示保证存在某个三顶点集的 $r$ 条内部不相交 Steiner 树的最小边数。

提出的方法

• 引入最大广义局部连通度 $\overline{\kappa}_k(G)$ 的概念，定义为图 $G$ 中任意 $k$ 元子集 $S \subseteq V(G)$ 的内部不相交 $S$-树的最大数量。
• 定义 $f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell)$ 为阶为 $n$ 且满足 $\overline{\kappa}_k(G) \leq \ell$ 的图中边数的最大值；定义 $h(n;\overline{\kappa}_k \geq r)$ 为保证存在某个 $k$-子集的 $r$ 条内部不相交 $S$-树的最小边数，并给出关系式 $h(n;\overline{\kappa}_k \geq \ell+1) = f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell) + 1$。
• 通过 $n$ 的归纳法证明：若图 $G$ 满足 $\overline{\kappa}_3(G) \leq 2$ 且边数 $e(G) = 2n-3$（或当 $n=4$ 时为 $2n-2$），则 $G$ 必属于特定的极值图类 $\mathcal{G}_n^*$。
• 通过图的并运算 $G = G' \vee K_2$ 构造极值图，其中 $G'$ 为正则或近乎正则图，以推导 $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell)$ 的下界。
• 通过基于最小度顶点邻域结构的分类讨论，分析删去一个顶点后诱导子图的顶点度数与边数。
• 应用图运算如边添加与顶点删去，以保持或分析 $\overline{\kappa}_3$ 参数；证明：若在满足 $e(G') = 2(n-1)-3$ 且 $\overline{\kappa}_3(G) \leq 2$ 的子图 $G'$ 上添加一条边，则所得图属于 $\mathcal{G}_n^*$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n$ 阶图中，若任意三个顶点之间不存在超过两条内部不相交的 Steiner 树连接，则其最大边数是多少？
• RQ2 对于 $n \geq 3$ 且 $n \neq 4$，$f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2)$ 的精确值是多少？哪些图能达到该边界？
• RQ3 如何构造图以实现 $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell)$ 的给定下界（对一般 $\ell$）？
• RQ4 $f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell)$ 与 $h(n;\overline{\kappa}_k \geq r)$ 之间存在何种关系？该对偶性如何促进极值图分析？

主要发现

• 当 $n \geq 3$ 且 $n \neq 4$ 时，任意三个顶点之间至多存在两条内部不相交 Steiner 树的图的最大边数为 $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2n - 3$。
• 当 $n = 4$ 时，最大边数为 $f(4;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2 \cdot 4 - 2 = 6$，该值由 $K_4$ 实现。
• 所有在 $n \neq 4$ 时达到 $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2n - 3$ 的极值图均属于图类 $\mathcal{G}_n^*$，该类图由将 $K_4$ 附加到树状结构或通过特定的图并运算构造而成。
• 对于一般 $\ell$，本文建立了如下下界：当 $n$ 与 $\ell$ 均为奇数时，$f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell) \geq \frac{\ell+2}{2}(n-2) + \frac{1}{2}$；否则 $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell) \geq \frac{\ell+2}{2}(n-2) + 1$。
• 当 $\ell = 2$ 时，该边界是紧的，因为 $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2n - 3$ 恰好与下界构造一致，该构造对应于 $K_2 \vee (n-2)K_1$，属于 $\mathcal{G}_n^*$ 中的图。
• 对偶关系 $h(n;\overline{\kappa}_3 \geq 3) = f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) + 1$ 成立，由此可得：当 $n \neq 4$ 时 $h(n;\overline{\kappa}_3 \geq 3) = 2n - 2$，当 $n = 4$ 时为 $2n - 1$，表示保证存在某个三元组有三条内部不相交 Steiner 树的最小边数。