[论文解读] On extremal trees with respect to the $F$-index

Hosam Abdo, Darko Dimitrov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Graph theory and applications参考文献 12被引用 15

一句话总结

本文研究了在遗忘指数（F-index）下的极值树，F-index 是一种基于顶点度数立方和的拓扑描述符。它刻画了最大度数有界的树中使 F-index 最大的情形，表明此类极值树由一个高阶中心顶点连接多个叶节点以及可能的少数中间度数顶点构成，且基于总顶点数和最大度数，给出了每种度数的顶点数量的精确公式。

ABSTRACT

In a study on the structure--dependency of the total $π$-electron energy from 1972, Trinajstić and one of the present authors have shown that it depends on the sums $\sum_{v\in V}d(v)^2$ and $\sum_{v\in V}d(v)^3$, where $d(v)$ is the degree of a vertex $v$ of the underling molecular graph $G$. The first sum was later named {\it first Zagreb index} and over the years became one of the most investigated graph--based molecular structure descriptors. On the other hand, the second sum, except in very few works on the general first Zagreb index and the zeroth--order general Randić index, has been almost completely neglected. Recently, this second sum was named {\em forgotten index}, or shortly the $F$-{\em index}, and shown to have an exceptional applicative potential. In this paper we examine the trees extremal with respect to the $F$-index.

研究动机与目标

• 在阶数为 n 且最大度数不超过 Δ 的所有树中，识别出 F-index 最大的树。
• 通过考虑顶点度数的约束，扩展先前关于 F-index 的结果。
• 在度数约束下，提供使 F-index 最大的树的度序列和结构配置的精确刻画。
• 使用计算工具（Sage 和 MATLAB）对小规模 n 进行验证，以支持理论发现。
• 证明在度数约束下，具有中心高阶顶点和悬挂叶节点的星形结构能最大化 F-index。

提出的方法

• 将 F-index 形式化为 $ F(G) = \sum_{v \in V(G)} d(v)^3 $，其中 $ d(v) $ 是顶点 v 的度数。
• 使用图论变换：移除一条边 $ uv $ 并添加 $ xy $，以比较 F-index 的值。
• 应用整数线性规划来建模并求解在度数约束下的极值度序列。
• 使用计算工具（Sage 和 MATLAB）枚举并验证小规模 n 下的极值树。
• 推导出在度数分布和边多重性基础上，使树达到最大 F-index 的结构条件。
• 引入并分析形如 $ [\Delta^{k}, \dots, 1^{m}] $ 的度序列，其精确计数基于模运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 n 个顶点且最大度数不超过 Δ 的树，哪些树的 F-index 最大？
• RQ2 在度数约束下，F-index 如何变化，其结构特征如何使其最大化？
• RQ3 在有界度数的树中，哪些精确的度序列和顶点计数能产生极值 F-index？
• RQ4 与一般的第一 Zagrak 指数和零阶 Randić 指数相比，F-index 的结果有何异同？
• RQ5 能否通过计算方法系统地生成并验证极值 F-index 树？

主要发现

• 对于具有 n 个顶点且最大度数为 Δ 的树，当度序列包含 $ \left\lfloor \frac{n-2}{\Delta-1} \right\rfloor $ 个度数为 Δ 的顶点，其余为叶节点时，F-index 达到最大值；当 $ (n-2) \mod (\Delta-1) \neq 0 $ 时，可能包含一个中间度数的顶点。
• 当 $ (n-2) \mod (\Delta-1) = 0 $ 时，极值树恰好包含 $ \frac{n-2}{\Delta-1} $ 个度数为 Δ 的顶点和 $ \frac{n(\Delta-2)+2}{\Delta-1} $ 个叶节点。
• 当 $ (n-2) \mod (\Delta-1) \neq 0 $ 时，极值树包含一个度数为 $ x $ 的顶点（其中 $ 2 \leq x \leq \Delta-1 $），$ \frac{n-1-x}{\Delta-1} $ 个度数为 Δ 的顶点，以及 $ \frac{(n-1)(\Delta-2)+x}{\Delta-1} $ 个叶节点。
• 对于阶数不超过 20 且 Δ = 4 和 Δ = 5 的极值树，F-index 值通过 Sage 和 MATLAB 计算并验证，结果一致。
• 最大 F-index 由星形结构实现，即一个中心高阶顶点连接尽可能多的叶节点，仅在满足度数和顶点数约束时才引入中间度数顶点。
• F-index 随 n 和 Δ 显著增长，当 n=20 且 Δ=5 时，F-index 值达到 542，证实了所推导公式的适用性。