[论文解读] On Extreme Value Processes and the Functional D-Norm

Stefan Aulbach, Michael Falk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过使用[0,1]上连续极稳态过程分布函数G的D-范数表示，为随机过程引入了一种函数域吸引框架，推广了经典极值理论。它证明了函数广义帕累托分布（GPD）在上尾满足W = 1 + log(G)，并通过具有多项式速率的δ-邻域刻画了向这些GPD的收敛性，将多变量极值理论推广至函数设置。

ABSTRACT

We introduce a functional domain of attraction approach for stochastic processes, which is more general than the usual one based on weak convergence. The distribution function G of a continuous max-stable process on [0,1] is introduced and it is shown that G can be represented via a norm on functional space, called D-norm. This is in complete accordance with the multivariate case and leads to the definition of functional generalized Pareto distributions (GPD) W. These satisfy W=1+log(G) in their upper tails, again in complete accordance with the uni- or multivariate case. Applying this framework to copula processes we derive characterizations of the domain of attraction condition for copula processes in terms of tail equivalence with a functional GPD. \delta-neighborhoods of a functional GPD are introduced and it is shown that these are characterized by a polynomial rate of convergence of functional extremes, which is well-known in the multivariate case.

研究动机与目标

• 通过引入函数域吸引方法，将极值理论从多变量推广至函数设置。
• 利用函数范数（即D-范数）定义并刻画[0,1]上连续极稳态过程的分布函数G。
• 建立函数广义帕累托分布（GPD）的函数推广，使得在上尾区域W = 1 + log(G)成立，与多变量情况保持一致。
• 推导出协copula过程属于函数GPD域吸引的条件，通过尾部等价性实现。
• 刻画函数GPD的δ-邻域，并将其与函数极值的多项式收敛速率联系起来。

提出的方法

• 本文在函数空间上定义D-范数，以表示[0,1]上连续极稳态过程的分布函数G。
• 引入函数广义帕累托分布（GPD）W，使其在上尾满足W = 1 + log(G)，确保与单变量和多变量极值理论的一致性。
• 该框架采用函数GPD周围的δ-邻域来描述函数极值的收敛行为。
• 它证明了向函数GPD的收敛以多项式速率发生，与多变量情况类似。
• 该方法利用尾部等价性，通过函数GPD刻画协copula过程的域吸引特征。
• 该方法通过在函数空间中使用基于范数的表示，推广了基于弱收敛的经典域吸引框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过函数范数将随机过程的极值理论推广至弱收敛之外的框架？
• RQ2 广义帕累托分布（GPD）的函数类比是什么？它如何通过W = 1 + log(G)与极稳态过程关联？
• RQ3 如何利用函数GPD的δ-邻域刻画函数极值的收敛速率？
• RQ4 何种条件可确保协copula过程属于函数GPD的域吸引？
• RQ5 G的D-范数表示如何统一函数与多变量极值理论框架？

主要发现

• 连续极稳态过程在[0,1]上的分布函数G可通过函数空间上的D-范数表示，为极值理论提供了基于范数的推广。
• 函数广义帕累托分布（GPD）在上尾满足W = 1 + log(G)，确保与经典单变量和多变量极值理论框架的一致性。
• 函数GPD的δ-邻域以函数极值的多项式收敛速率为特征，将已知的多变量结果推广至函数设置。
• 证明了协copula过程当且仅当与某函数GPD尾部等价时，属于该函数GPD的域吸引，提供了可计算的刻画。
• 基于D-范数的函数域吸引方法比经典弱收敛方法更具一般性，使其在随机过程极值中具有更广泛的应用潜力。
• 该框架通过基于范数的表示和尾部等价性，成功地将多变量极值理论的理论结构推广至函数过程。